Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$. Tính góc $\varphi $ giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( SCD \right)$.
A. $\varphi =90{}^\circ $.
B. $\varphi =30{}^\circ $.
C. $\varphi =45{}^\circ $.
D. $\varphi =60{}^\circ $.
Vì $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với $\left( ABCD \right)$ nên $SA\bot \left( ABCD \right)$.
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}.SA=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}\Leftrightarrow SA=a$.
$SD=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
$\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AD \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot SD$.
${{S}_{SCD}}=\dfrac{1}{2}SD.CD=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$.
Gọi $I$ là hình chiếu của $B$ lên $\left( SCD \right)$.
$\left( SB,\left( SCD \right) \right)=\left( SB,SI \right)=\widehat{BSI}$.
Ta có ${{V}_{S.BCD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{{S}_{SCD}}.BI=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}.BI=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}\Leftrightarrow BI=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Tam giác $SBI$ vuông tại $I$ nên $\sin \widehat{BSI}=\dfrac{BI}{SB}=\dfrac{a\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BSI}=30{}^\circ $.
Vậy $\left( SB,\left( SCD \right) \right)=30{}^\circ $.
A. $\varphi =90{}^\circ $.
B. $\varphi =30{}^\circ $.
C. $\varphi =45{}^\circ $.
D. $\varphi =60{}^\circ $.
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}.SA=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}\Leftrightarrow SA=a$.
$SD=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
$\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AD \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot SD$.
${{S}_{SCD}}=\dfrac{1}{2}SD.CD=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$.
Gọi $I$ là hình chiếu của $B$ lên $\left( SCD \right)$.
$\left( SB,\left( SCD \right) \right)=\left( SB,SI \right)=\widehat{BSI}$.
Ta có ${{V}_{S.BCD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{{S}_{SCD}}.BI=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}.BI=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}\Leftrightarrow BI=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Tam giác $SBI$ vuông tại $I$ nên $\sin \widehat{BSI}=\dfrac{BI}{SB}=\dfrac{a\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BSI}=30{}^\circ $.
Vậy $\left( SB,\left( SCD \right) \right)=30{}^\circ $.
Đáp án B.