Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a.$ Gọi $M,K$ lần lượt là trọng tâm tam giác $SAB,SCD;N$ là trung điểm của $BC$. Thể tích tứ diện $SMNK$ bằng
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{27}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{27}.$
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{27}.$
D. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{27}.$
Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Khi đó $M\in SI:\dfrac{SM}{SI}=\dfrac{2}{3};N\in SJ:\dfrac{SN}{SJ}=\dfrac{2}{3}.$
Ta có $\dfrac{{{V}_{S.MNK}}}{{{V}_{INJ}}}=\dfrac{SM}{SI}.\dfrac{SK}{SJ}=\dfrac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{S.MNK}}=\dfrac{4}{9}{{V}_{S.INJ}}$
Mặt khác ${{V}_{S.NIJ}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABCD}}\Rightarrow {{V}_{S.MNK}}=\dfrac{1}{9}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{9}.\dfrac{1}{3}.A{{B}^{2}}.SA=\dfrac{1}{27}.{{\left( 2a \right)}^{2}}.a=\dfrac{4{{a}^{3}}}{27}.$
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{27}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{27}.$
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{27}.$
D. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{27}.$
Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Khi đó $M\in SI:\dfrac{SM}{SI}=\dfrac{2}{3};N\in SJ:\dfrac{SN}{SJ}=\dfrac{2}{3}.$
Ta có $\dfrac{{{V}_{S.MNK}}}{{{V}_{INJ}}}=\dfrac{SM}{SI}.\dfrac{SK}{SJ}=\dfrac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{S.MNK}}=\dfrac{4}{9}{{V}_{S.INJ}}$
Mặt khác ${{V}_{S.NIJ}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABCD}}\Rightarrow {{V}_{S.MNK}}=\dfrac{1}{9}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{9}.\dfrac{1}{3}.A{{B}^{2}}.SA=\dfrac{1}{27}.{{\left( 2a \right)}^{2}}.a=\dfrac{4{{a}^{3}}}{27}.$
Đáp án C.