Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a,$ hình...

Ta có hình vẽ minh họa sau:
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên đáy $\Rightarrow SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\mathrm{\perp }AB$
Xét $\mathrm{\Delta }SAB$ vuông tại $S$ có $SH$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }SAB$ vuông cân tại $S$ $\Rightarrow SH={\displaystyle \frac{1}{2}}AB=a$
Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $CD$, $HN\cap BD=\left\{O\right\}$, $HC\cap BD=\left\{I\right\}$
Ta có $OH//BC$, theo định lý Thales ${\displaystyle \frac{IH}{IC}}={\displaystyle \frac{OH}{BC}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{IH}{IC}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
Lại có $HC\cap \left(SBD\right)=\left\{I\right\}\Rightarrow {\displaystyle \frac{d(H;\left(SBD\right))}{d(C;\left(SBD\right))}}={\displaystyle \frac{IH}{IC}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow d(C;\left(SBD\right))=2d(H;\left(SBD\right))$
Trong mặt phẳng $\left(ABCD\right)$, từ $H$ kẻ $HP\mathrm{\perp }BD$ tại $P$ $\left(1\right)$
Do $SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\mathrm{\perp }BD\left(2\right)$
Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ $\Rightarrow BD\mathrm{\perp }\left(SHP\right)\left(3\right)$. Mặt khác $BD\subset \left(SBD\right)\left(4\right)$
Từ $\left(3\right)$ và $\left(4\right)$ $\Rightarrow \left(SHP\right)\mathrm{\perp }\left(SBD\right)$ theo giao tuyến $SP$
Trong mặt phẳng $\left(SHP\right)$, hạ $HQ\mathrm{\perp }SP$ tại $Q$ $\Rightarrow HQ\mathrm{\perp }\left(SBD\right)\Rightarrow d(H;\left(SBD\right))=HQ$
Xét $\mathrm{\Delta }HPB$ vuông tại $P$, có $\sin \widehat{HBP}={\displaystyle \frac{HP}{HB}}\Rightarrow HP=HB.\sin 45{}^{\circ }={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}$
Xét $\mathrm{\Delta }SHP$ vuông tại $H$, có đường cao $HQ$ $\Rightarrow HQ={\displaystyle \frac{HS.HP}{\sqrt{H{S}^2+H{P}^2}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}$
$\Rightarrow d(C;\left(SBD\right))=2d(H;\left(SBD\right))=2HQ={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}a}{3}}$.