Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a$,cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa $SC$ với mặt phẳng $(SAB)$ bằng ${{30}^{{}^\circ }}$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{8\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{8\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& SC\cap \left( SAB \right)=S \\
& CB\bot \left( SAB \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow \left( SC\cap \left( SAB \right) \right)=\left( SC; SB \right)=\widehat{CSB}={{30}^{0}}$.
Xét tam giác $SBC$ vuông tại $B$ có: $\tan {{30}^{0}}=\dfrac{BC}{SB}\Rightarrow SB=\dfrac{BC}{\tan {{30}^{0}}}=\dfrac{2a}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=2\sqrt{3}a$.
Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có: $SA=\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}-4{{a}^{2}}}=2a\sqrt{2}$.
Thể tích khối chóp ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.2a\sqrt{2}.4{{a}^{2}}=\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
& SC\cap \left( SAB \right)=S \\
& CB\bot \left( SAB \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow \left( SC\cap \left( SAB \right) \right)=\left( SC; SB \right)=\widehat{CSB}={{30}^{0}}$.
Xét tam giác $SBC$ vuông tại $B$ có: $\tan {{30}^{0}}=\dfrac{BC}{SB}\Rightarrow SB=\dfrac{BC}{\tan {{30}^{0}}}=\dfrac{2a}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=2\sqrt{3}a$.
Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có: $SA=\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}-4{{a}^{2}}}=2a\sqrt{2}$.
Thể tích khối chóp ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.2a\sqrt{2}.4{{a}^{2}}=\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
Đáp án C.