Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $2\sqrt{2}$, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.
A. $V=\dfrac{32\pi }{3}$.
B. $V=\dfrac{64\sqrt{2}\pi }{3}$.
C. $V=\dfrac{108\pi }{3}$.
D. $V=\dfrac{125\pi }{6}$.
$CB\bot \left( SAB \right),AM\subset \left( SAB \right)\Rightarrow AM\bot CB$ (1)
$\left( \alpha \right)\bot SC,AM\subset \left( \alpha \right)\Rightarrow AM\bot SC$ (2)
Từ (l),(2) $\Rightarrow AM\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AM\bot MC\Rightarrow \widehat{AMC}=90{}^\circ $.
Chứng minh tương tự ta có $\widehat{APC}=90{}^\circ $
Có $AN\bot SC\Rightarrow \widehat{ANC}=90{}^\circ $
Ta có $\widehat{AMC}=\widehat{APC}=\widehat{ANC}=90{}^\circ $
$\Rightarrow $ Khối cầu đường kính AC là khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP .
Bán kính cầu này là $r=\dfrac{AC}{2}=2$.
Thể tích cầu $V=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\dfrac{32\pi }{3}$.
A. $V=\dfrac{32\pi }{3}$.
B. $V=\dfrac{64\sqrt{2}\pi }{3}$.
C. $V=\dfrac{108\pi }{3}$.
D. $V=\dfrac{125\pi }{6}$.
$CB\bot \left( SAB \right),AM\subset \left( SAB \right)\Rightarrow AM\bot CB$ (1)
$\left( \alpha \right)\bot SC,AM\subset \left( \alpha \right)\Rightarrow AM\bot SC$ (2)
Từ (l),(2) $\Rightarrow AM\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AM\bot MC\Rightarrow \widehat{AMC}=90{}^\circ $.
Chứng minh tương tự ta có $\widehat{APC}=90{}^\circ $
Có $AN\bot SC\Rightarrow \widehat{ANC}=90{}^\circ $
Ta có $\widehat{AMC}=\widehat{APC}=\widehat{ANC}=90{}^\circ $
$\Rightarrow $ Khối cầu đường kính AC là khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP .
Bán kính cầu này là $r=\dfrac{AC}{2}=2$.
Thể tích cầu $V=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\dfrac{32\pi }{3}$.
Đáp án A.