Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O,SO\bot \left(...

Phương pháp:
- Trong $\left( ABCD \right)$ kẻ $OH\bot BC\left( H\in BC \right),$ trong $\left( SOH \right)$ kẻ $OK\bot SH\left( K\in SH \right),$ chứng minh $OK\bot \left( SBC \right).$
- Sử dụng định lí Pytago tính $OB,OC.$
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính $OH,OK.$
Cách giải:

Trong $\left( ABCD \right)$ kẻ $OH\bot BC\left( H\in BC \right).$ Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot OH \\
& BC\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SOH \right).$
Trong $\left( SOH \right)$ kẻ $OK\bot SH\left( K\in SH \right)$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& OK\bot BC \\
& OK\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OK\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( O;\left( SBC \right) \right)=OK.$
Áp dụng định lí Pytago ta có:
$OB=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{O}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3},OC=\sqrt{B{{C}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $OBC$ ta có:
$OH=\dfrac{OB.OC}{\sqrt{O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}}{\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{3}+\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SOH$ ta có:
$OK=\dfrac{SO.OH}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}+\dfrac{2{{a}^{2}}}{9}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$
Vậy $d\left( O;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}.$