Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi, tam giác SABđều và nằm...

Phương pháp:
Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng bằng cách tìm mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Cách giải:

Gọi Ilà trung điểm của AB⇒ SI⊥ AB(do tam giác SABđều).
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB\Rightarrow SI\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\supset SI\bot AB \\
\end{aligned} \right.$
+) Ta thấy $AD||BC\left( gt \right)$ ⇒ $d\left( AD;SC \right)~$
$=d\left( AD;\left( SBC \right) \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right).~$
Mà $AI\cap \left( SBC \right)=B\Rightarrow \dfrac{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}{d\left( I;\left( SBC \right) \right)}~=\dfrac{AB}{IB}=2.~$
⇒ $d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2d\left( I;\left( SBC \right) \right)\Rightarrow d\left( AD;SC \right)=2d\left( I;\left( SBC \right) \right).~$
Trong (ABCD) , kẻ $IH\bot BC(H\in BC)$. Trong (SIH) kẻ IK⊥ SH( K∈ SH) ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot IH \\
& BC\bot SI\left( SI\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SIH \right)\Rightarrow BC\bot IK$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& IK\bot SH \\
& IK\bot BC \\
\end{aligned} \right.~\Rightarrow IK\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( I;\left( SBC \right) \right)=IK.~$
Gọi $O=AC\cap BD$ ta có $AC\bot BD$ tại Ovà Olà trung điểm của AC, BD
+) Tam giác AOBvuông tại Ocó $AO=\dfrac{AC}{2}=a$ ; $BO=\dfrac{BD}{2}~$ = 2a.
⇒ AB= $\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}$ = $\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}}=a\sqrt{5}=BC$ (Định lí Pytago).
Ta có ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC.BD=\dfrac{1}{2}.2a.4a=4{{a}^{2}}.~$
$\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABCD}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow {{S}_{IBC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABC}}={{a}^{2}}.~$
Mặt khác ${{S}_{IBC}}=\dfrac{1}{2}~IH.BC\Rightarrow IH=~\dfrac{2{{S}_{IBC}}}{BC}~=\dfrac{2{{a}^{2}}}{a\sqrt{5}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.~$
+) Tam giác SABđều cạnh $a\sqrt{5}$ ⇒ $SI=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.a\sqrt{5}=\dfrac{a\sqrt{~15}}{2}.~$
+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SIHta có:
$IK=\dfrac{SI.IH}{\sqrt{S{{I}^{2}}+I{{H}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{2}.\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{15}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{2a\sqrt{5}}{5} \right)}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{1365}}{91}.~$
Vậy $d\left( AD;SC \right)=2IK=\dfrac{4a\sqrt{1365}}{91}.~$