Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi, tam giác $SAB$ đều và...

Gọi $O=AC\cap BD, H$ là trung điểm của $AB,$ suy ra $SH\bot AB.$
Do $AB=\left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)$ và $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$ nên $SH\bot \left( ABCD \right)$
Ta có: $OA=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{2a}{2}=a$
$\begin{aligned}
& OB=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{4a}{2}=2a \\
& \Rightarrow Ab=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{5} \\
\end{aligned}$
$SH=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2};{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC.BD=\dfrac{1}{2}2a.4a=4{{a}^{2}}$
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{15}}{2}4{{a}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$
Ta có: $BC//AD\Rightarrow AD//\left( SBC \right)\Rightarrow d\left( AD,SC \right)=d\left( AD;\left( SBC \right) \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)$
Do $H$ là trung điểm của $AB$ và $B=AH\cap \left( SCB \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2d\left( H;\left( SBC \right) \right)$
Kẻ $HE\bot BC,H\in BC.$ Do $SH\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( SHE \right).$
Kẻ $HK\bot SE,K\in SE,$ ta có $BC\bot HK\Rightarrow HK\bot \left( SBC \right)\Rightarrow HK=d\left( H;\left( SBC \right) \right)$
$HE=\dfrac{2{{S}_{BCH}}}{BC}=\dfrac{{{S}_{ABC}}}{BC}=\dfrac{{{S}_{ABCD}}}{2BC}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{2a\sqrt{5}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
$\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{15{{a}^{2}}}=\dfrac{91}{60{{a}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{2a\sqrt{15}}{\sqrt{91}}=\dfrac{2a\sqrt{1365}}{91}$
Vậy $d\left( AD,SC \right)=2HK=\dfrac{4a\sqrt{1365}}{91}.$