Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm...

Gọi $O=AC\cap BD$, $H$ là trung điểm của $AB$.
Do tam giác $SAB$ đều có $SH$ là đường cao và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OA=\dfrac{AC}{2}=a \\
& OB=\dfrac{BD}{2}=2a \\
\end{aligned} \right.$.
Tam giác $OAB$ vuông tại $O$ có: $AB=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}$.
Tam giác $SAB$ đều, $SH$ là đường cao $\Rightarrow SH=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$.
Kẻ $BE \text{//} AC$ và $AE \text{//} BD$. Tứ giác $AEBO$ có: $\left\{ \begin{aligned}
& AE \text{//} BO \\
& BE \text{//} AO \\
& AO\bot BO \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow $ $ AEBO$ là hình chữ nhật.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AE=BO=2a \\
& AE\bot BE \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $K$ là trung điểm $BE$, và có $H$ là trung điểm $AB$ nên $HK$ là đường trung bình của tam giác $ABE$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& HK \text{//} AE \\
& HK=\dfrac{1}{2}AE=a \\
\end{aligned} \right.$.
Mà $AE\bot BE\Rightarrow HK\bot BE$.
Lại có: $SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot BE$. Suy ra $BE\bot \left( SHK \right)$.
Kẻ $HI\bot SK$, $BE\bot \left( SHK \right)$ nên $BE\bot HI$. Suy ra $HI\bot \left( SBE \right)\Rightarrow HI=d\left( H,\left( SBE \right) \right)$.
Tam giác $SHK$ vuông tại $H$, đường cao $HI$ :
$\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{15}}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{19}{15{{a}^{2}}}\Rightarrow HI=\dfrac{a\sqrt{285}}{19}$.
Ta có: $BE \text{//} AC$ nên $AC \text{//} \left( SBE \right)$ $\Rightarrow d\left( AC,SB \right)=d\left( AC;\left( SBE \right) \right)=d\left( A;\left( SBE \right) \right)$.
Ta có: $AH\cap \left( SBE \right)=B\Rightarrow \dfrac{d\left( A;\left( SBE \right) \right)}{d\left( H;\left( SBE \right) \right)}=\dfrac{AB}{HB}=2$
$\Leftrightarrow d\left( A;\left( SBE \right) \right)=2d\left( H;\left( SBE \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{285}}{19}$.