Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh a, góc $BAC=60{}^\circ ,SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ $. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng:
A. $a.$
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
C. $2a.$
D. $\dfrac{3a}{4}.$
+ ABCD là hình thoi, góc $BAC=60{}^\circ $ nên ta có tam giác ABC đều.
+ Gọi M là trung điểm BC ta có góc giữa (SBC) và đáy (ABCD) bằng góc $SMA=60{}^\circ $.
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A nên SM ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SA \\
& BC\bot AM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)\Rightarrow BC\bot AH.$
+ Lại có: $AH\bot SM\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH.$
+ $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$ Ta có: $\dfrac{AH}{AM}=\sin 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a}{4}.$
A. $a.$
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
C. $2a.$
D. $\dfrac{3a}{4}.$
+ ABCD là hình thoi, góc $BAC=60{}^\circ $ nên ta có tam giác ABC đều.
+ Gọi M là trung điểm BC ta có góc giữa (SBC) và đáy (ABCD) bằng góc $SMA=60{}^\circ $.
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A nên SM ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SA \\
& BC\bot AM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)\Rightarrow BC\bot AH.$
+ Lại có: $AH\bot SM\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH.$
+ $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$ Ta có: $\dfrac{AH}{AM}=\sin 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a}{4}.$
Đáp án D.