Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a, BD=a\sqrt{3}$ (tham khảo hình vẽ)
Biết $SA$ vuông góc với đáy và mặt phẳng $\left( SBD \right)$ hợp với đáy một góc ${{60}^{\text{o}}}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABCD.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}.$
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$
Do $A B C D$ là hình thoi cạnh $a, B D=a \sqrt{3}$ nên tam giác $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$.
Suy ra $: S_{A B C D}=2 S_{A B C}=2 \cdot \dfrac{\sqrt{3} a^{2}}{4}=\dfrac{\sqrt{3} a^{2}}{2}$.
Gọi $O$ là tâm hình thoi $A B C D$.
Do $B D \perp(S A C)$ nên $((S B D) ;(A B C D))=S O A=60^{\circ}$.
Xét tam giác $S A O$ vuông tại $A: \tan S O A=\dfrac{S A}{A O} \Leftrightarrow S A=A O \tan S O A=\dfrac{a}{2} \cdot \sqrt{3}=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
$
\text { Vậy } V_{S \cdot A B C D}=\dfrac{1}{3} S A \cdot S_{A B C D}=\dfrac{1}{3} S A \cdot S_{A B C D}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3} a^{2}}{2}=\dfrac{a^{3}}{4} \text {. }
$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}.$
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$
Suy ra $: S_{A B C D}=2 S_{A B C}=2 \cdot \dfrac{\sqrt{3} a^{2}}{4}=\dfrac{\sqrt{3} a^{2}}{2}$.
Gọi $O$ là tâm hình thoi $A B C D$.
Do $B D \perp(S A C)$ nên $((S B D) ;(A B C D))=S O A=60^{\circ}$.
Xét tam giác $S A O$ vuông tại $A: \tan S O A=\dfrac{S A}{A O} \Leftrightarrow S A=A O \tan S O A=\dfrac{a}{2} \cdot \sqrt{3}=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
$
\text { Vậy } V_{S \cdot A B C D}=\dfrac{1}{3} S A \cdot S_{A B C D}=\dfrac{1}{3} S A \cdot S_{A B C D}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3} a^{2}}{2}=\dfrac{a^{3}}{4} \text {. }
$
Đáp án A.