Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $D$, $AB=3a, AD=DC=a$. Gọi $I$ là trung điểm của $AD$, biết hai mặt phẳng $\left( SBI \right)$ và $\left( SCI \right)$ cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng $\left( SBC \right)$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Gọi $M$ là điểm nằm trên $AB$ sao cho $AM=2a$, tính khoảng cách giữa $MD$ và $SC$.
A. $\dfrac{a\sqrt{17}}{5}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{19}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{15}$.
Theo giả thiết $\left\{ \begin{matrix}
\left( SBI \right)\bot \left( ABCD \right) \\
\left( SCI \right)\bot \left( ABCD \right) \\
\left( SBI \right)\cap \left( SCI \right)=SI \\
{} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow SI\bot \left( ABCD \right) $. Vậy $ SI $ là đường cao của hình chóp $ S.ABCD$.
Giả thiết góc giữa $\left( SBC \right)$ với đáy là $60{}^\circ $, hai mặt phẳng có giao tuyến là $BC$. Từ $I$ hạ $IK\bot BC$ $\left( 1 \right)$.
Từ $SI\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SI\bot BC\subset \left( ABCD \right) \left( 2 \right)$. Từ $\left( 1 \right), \left( 2 \right)$ suy ra $BC\bot \left( SIK \right)$. Vậy góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt đáy là góc $\widehat{SKI}$. Do đó $\widehat{SKI }=60{}^\circ $.
Ta có $AM=2a\Rightarrow BM=a, MD\text{//}BC$. Vậy $d\left( MD, SC \right)=d\left( MD, \left( SBC \right) \right)=d\left( D, \left( SBC \right) \right)$.
Gọi $\left\{ E \right\}=AD\cap BC$, ta có $\Delta EDC\sim \Delta EAB\Rightarrow \dfrac{ED}{EA}=\dfrac{DC}{AB}=\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow ED=\dfrac{1}{2}AD=ID$.
Suy ra $2d\left( D, \left( SBC \right) \right)=d\left( I, \left( SBC \right) \right)$.
Trong tam giác $SIK$ vuông tại $I$ vẽ $IH\bot SK$ tại $H$. Suy ra $IH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( I,\left( SBC \right) \right)=IH$
Ta có: $\dfrac{1}{I{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{I{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{I{{S}^{2}}}$ $\left( * \right)$. Tính $IS, IK$.
Trong tam giác vuông $SIK$ có $\tan \widehat{SKI}=\dfrac{SI}{IK}\Rightarrow SI=IK.\tan 60{}^\circ =IK.\sqrt{3}$.
Mặt khác $IK=d\left( I, BC \right)=d\left( A, DM \right)=\dfrac{AM.AI}{DM}=\dfrac{2a.a}{a\sqrt{5}}=\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$. Vậy $SI=\dfrac{2a}{\sqrt{5}}.\sqrt{3}=\dfrac{2a\sqrt{15}}{5}$.
Thay vào $\left( * \right)$ ta có $\dfrac{1}{I{{H}^{2}}}=\dfrac{5}{12{{a}^{2}}}+\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{3{{a}^{2}}}$. Suy ra $IH=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$. Vậy $d\left( MD, SC \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{17}}{5}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{19}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{15}$.
Theo giả thiết $\left\{ \begin{matrix}
\left( SBI \right)\bot \left( ABCD \right) \\
\left( SCI \right)\bot \left( ABCD \right) \\
\left( SBI \right)\cap \left( SCI \right)=SI \\
{} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow SI\bot \left( ABCD \right) $. Vậy $ SI $ là đường cao của hình chóp $ S.ABCD$.
Giả thiết góc giữa $\left( SBC \right)$ với đáy là $60{}^\circ $, hai mặt phẳng có giao tuyến là $BC$. Từ $I$ hạ $IK\bot BC$ $\left( 1 \right)$.
Từ $SI\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SI\bot BC\subset \left( ABCD \right) \left( 2 \right)$. Từ $\left( 1 \right), \left( 2 \right)$ suy ra $BC\bot \left( SIK \right)$. Vậy góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt đáy là góc $\widehat{SKI}$. Do đó $\widehat{SKI }=60{}^\circ $.
Ta có $AM=2a\Rightarrow BM=a, MD\text{//}BC$. Vậy $d\left( MD, SC \right)=d\left( MD, \left( SBC \right) \right)=d\left( D, \left( SBC \right) \right)$.
Gọi $\left\{ E \right\}=AD\cap BC$, ta có $\Delta EDC\sim \Delta EAB\Rightarrow \dfrac{ED}{EA}=\dfrac{DC}{AB}=\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow ED=\dfrac{1}{2}AD=ID$.
Suy ra $2d\left( D, \left( SBC \right) \right)=d\left( I, \left( SBC \right) \right)$.
Trong tam giác $SIK$ vuông tại $I$ vẽ $IH\bot SK$ tại $H$. Suy ra $IH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( I,\left( SBC \right) \right)=IH$
Ta có: $\dfrac{1}{I{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{I{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{I{{S}^{2}}}$ $\left( * \right)$. Tính $IS, IK$.
Trong tam giác vuông $SIK$ có $\tan \widehat{SKI}=\dfrac{SI}{IK}\Rightarrow SI=IK.\tan 60{}^\circ =IK.\sqrt{3}$.
Mặt khác $IK=d\left( I, BC \right)=d\left( A, DM \right)=\dfrac{AM.AI}{DM}=\dfrac{2a.a}{a\sqrt{5}}=\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$. Vậy $SI=\dfrac{2a}{\sqrt{5}}.\sqrt{3}=\dfrac{2a\sqrt{15}}{5}$.
Thay vào $\left( * \right)$ ta có $\dfrac{1}{I{{H}^{2}}}=\dfrac{5}{12{{a}^{2}}}+\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{3{{a}^{2}}}$. Suy ra $IH=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$. Vậy $d\left( MD, SC \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$.
Đáp án B.