Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại A và D; $AD=CD=a; AB=2a$. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB và $SH=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$. Tính khoảng cách d từ trọng tâm G của tam giác SCD đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$.
A. $d=\dfrac{2a}{3}$
B. $d=a\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
C. $d=\dfrac{2\sqrt{15} a}{15}$.
D. $d=\dfrac{a\sqrt{6}}{12}$
Ta có ABCD là hình thang vuông tại A và D; $AD=CD=a; AB=2a$ ; H là trung điểm của AB do đó ADCH là hình vuông, DHBC là hình bình hành, tam giác BHC vuông cân tại H.
Gọi K là trung điểm của BC. Suy ra $HK\bot BC$
Từ H kẻ $HI\bot SK$
Do $BC\bot HK, BC\bot SH\Rightarrow BC\bot \left( SHK \right)\Rightarrow BC\bot HI$
Mà $HI\bot SK \Rightarrow HI\bot \left( SBC \right)$. Vậy $d\left( H,\left( SBC \right) \right)=HI$
Tam giác BHC vuông cân tại H với $HB=HC=a$ nên $HK=HB.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=a\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Mặt khác HI là đường cao trong tam giác vuông SHK nên
$\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}} =\dfrac{4}{6{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{8}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow HI=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$
$d\left( G,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{2}{3}d\left( M,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}d\left( D,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{3}d\left( H,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{3}HI=\dfrac{a\sqrt{6}}{12}$.
A. $d=\dfrac{2a}{3}$
B. $d=a\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
C. $d=\dfrac{2\sqrt{15} a}{15}$.
D. $d=\dfrac{a\sqrt{6}}{12}$
Gọi K là trung điểm của BC. Suy ra $HK\bot BC$
Từ H kẻ $HI\bot SK$
Do $BC\bot HK, BC\bot SH\Rightarrow BC\bot \left( SHK \right)\Rightarrow BC\bot HI$
Mà $HI\bot SK \Rightarrow HI\bot \left( SBC \right)$. Vậy $d\left( H,\left( SBC \right) \right)=HI$
Tam giác BHC vuông cân tại H với $HB=HC=a$ nên $HK=HB.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=a\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Mặt khác HI là đường cao trong tam giác vuông SHK nên
$\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}} =\dfrac{4}{6{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{8}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow HI=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$
$d\left( G,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{2}{3}d\left( M,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}d\left( D,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{3}d\left( H,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{3}HI=\dfrac{a\sqrt{6}}{12}$.
Đáp án D.