Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, $AD=DC=a$, $AB=2a$. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, mặt bên $\left( SBC \right)$ tạo với đáy một góc 60° . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng:
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Gọi I là trung điểm AB. Tứ giác AICD là hình vuông nên $CI=a=\dfrac{1}{2}$.
Tam giác ACB có trung tuyến CI bằng nửa cạnh đối diện nên là tam giác vuông tại C.
Ta có $AB\left( SBC \right)\cap \left( ABCD \right)=BC$ ; $\left. \begin{aligned}
& BC\bot AC \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BC\bot SC$.
Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& AC\subset \left( ABCD \right),AC\bot BC \\
& SC\subset \left( SBC \right),SC\bot BC \\
\end{aligned} \right. $, do đó góc tạo bởi hai mặt phẳng $ \left( SBC \right) $ và $ \left( ABCD \right) $ là góc $ \widehat{SCA} $ (do tam giác SAC vuông tại A nên $ \widehat{SCA}<90{}^\circ $). Theo giả thiết $ \widehat{SCA}=60{}^\circ $.
$SA=AC.\tan \widehat{SCA}=a\sqrt{2}.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{6}$.
Kẻ $AH\bot SC$ tại H, khi đó $AH\bot \left( SBC \right)$ nên $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH$.
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{6{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{6{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Gọi M là trung điểm BC.
Ta có $\dfrac{d\left( G,\left( SBC \right) \right)}{d\left( A,\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{GM}{AM}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow d\left( G,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{3}AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
Tam giác ACB có trung tuyến CI bằng nửa cạnh đối diện nên là tam giác vuông tại C.
Ta có $AB\left( SBC \right)\cap \left( ABCD \right)=BC$ ; $\left. \begin{aligned}
& BC\bot AC \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BC\bot SC$.
& AC\subset \left( ABCD \right),AC\bot BC \\
& SC\subset \left( SBC \right),SC\bot BC \\
\end{aligned} \right. $, do đó góc tạo bởi hai mặt phẳng $ \left( SBC \right) $ và $ \left( ABCD \right) $ là góc $ \widehat{SCA} $ (do tam giác SAC vuông tại A nên $ \widehat{SCA}<90{}^\circ $). Theo giả thiết $ \widehat{SCA}=60{}^\circ $.
$SA=AC.\tan \widehat{SCA}=a\sqrt{2}.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{6}$.
Kẻ $AH\bot SC$ tại H, khi đó $AH\bot \left( SBC \right)$ nên $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH$.
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{6{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{6{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Gọi M là trung điểm BC.
Ta có $\dfrac{d\left( G,\left( SBC \right) \right)}{d\left( A,\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{GM}{AM}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow d\left( G,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{3}AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
Đáp án A.