Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt đáy $\left( ABCD \right)$ trùng với trung điểm $AB$. Biết $AB=a,BC=2a,BD=a\sqrt{10}$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và mặt phẳng đáy bằng ${{60}^{0}}$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ theo $a$
A. $V=\dfrac{3\sqrt{30}{{a}^{3}}}{8}$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{30}{{a}^{3}}}{4}$.
C. $V=\dfrac{\sqrt{30}{{a}^{3}}}{8}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{30}{{a}^{3}}}{12}$.
Từ giả thiết $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, ta tính được $AD=3a\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=\dfrac{5{{a}^{2}}}{2}$
Trong mặt đáy $\left( ABCD \right)$ : Gọi $H$ là trung điểm $AB$ ; kẻ $AK\bot BD$, $HI\bot BD$
$\Delta ABD$ vuông tại $A$ : $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow AK=\dfrac{3a\sqrt{10}}{10}$
Suy ra $HI=\dfrac{3a\sqrt{10}}{20}$
Ta có $\left. \begin{matrix}
SH\bot BD \\
HI\bot BD \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow BD\bot SI$
Do đó: $\left( \left( SBD \right);\left( ABCD \right) \right)=\left( SI;HI \right)=\widehat{SIH}={{60}^{0}}$
$\Rightarrow SH=HI.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{3a\sqrt{30}}{20}$
Vậy $V=\dfrac{1}{3}Bh=\dfrac{1}{3}.\dfrac{5{{a}^{2}}}{2}.\dfrac{3a\sqrt{30}}{20}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{30}}{8}$.
A. $V=\dfrac{3\sqrt{30}{{a}^{3}}}{8}$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{30}{{a}^{3}}}{4}$.
C. $V=\dfrac{\sqrt{30}{{a}^{3}}}{8}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{30}{{a}^{3}}}{12}$.
Từ giả thiết $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, ta tính được $AD=3a\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=\dfrac{5{{a}^{2}}}{2}$
Trong mặt đáy $\left( ABCD \right)$ : Gọi $H$ là trung điểm $AB$ ; kẻ $AK\bot BD$, $HI\bot BD$
$\Delta ABD$ vuông tại $A$ : $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow AK=\dfrac{3a\sqrt{10}}{10}$
Suy ra $HI=\dfrac{3a\sqrt{10}}{20}$
Ta có $\left. \begin{matrix}
SH\bot BD \\
HI\bot BD \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow BD\bot SI$
Do đó: $\left( \left( SBD \right);\left( ABCD \right) \right)=\left( SI;HI \right)=\widehat{SIH}={{60}^{0}}$
$\Rightarrow SH=HI.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{3a\sqrt{30}}{20}$
Vậy $V=\dfrac{1}{3}Bh=\dfrac{1}{3}.\dfrac{5{{a}^{2}}}{2}.\dfrac{3a\sqrt{30}}{20}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{30}}{8}$.
Đáp án C.