Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B...

The Knowledge · 16/1/22

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B,

A B = B C = a

,

A D = 2 a

, SA vuông góc với mặt đáy

(A B C D)

,

S A = a

. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, CD. Tính cosin của góc giữa MN và

(S A C)

.
A.

\frac{2}{\sqrt{5}}

B.

\frac{\sqrt{55}}{10}

C.

\frac{3 \sqrt{5}}{10}

D.

\frac{1}{\sqrt{5}}

HD:

Chọn

a = 1

, gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ với

A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), D (0; 2; 0), C (1; 1; 0)

và

S (0; 0; 1)

Ta có:

{\begin{aligned} \vec{A S} (0; 0; 1) \\ \vec{A C} (1; 1; 0) \end{aligned} \Rightarrow \vec{n_{(S A C)}} = [\vec{A S}; \vec{A C}] = (- 1; 1; 0)

Mặt khác

M (\frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}), N (\frac{1}{2}; \frac{3}{2}; 0)

(tính chất trung điểm)

\Rightarrow \vec{M N} (0; \frac{3}{2}; - \frac{1}{2})

.
Ta có:

\sin \hat{(M N; (S A C))} = \cos \hat{(\vec{n_{(S A C)}}; \vec{M N})} = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{2} . \sqrt{\frac{10}{4}}} = \frac{3 \sqrt{5}}{10}

\Rightarrow \cos \hat{(M N; (S A C))} = \sqrt{1 - \sin^{2} \hat{(M N; (S A C))}} = \frac{\sqrt{55}}{10}

.

Đáp án B.