Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, $AB=BC=a$, $A\text{D}=2\text{a}$, SA vuông góc với mặt đáy $(ABC\text{D})$, $SA=a$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, CD. Tính cosin của góc giữa MN và $(SAC)$.
A. $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
B. $\dfrac{\sqrt{55}}{10}$
C. $\dfrac{3\sqrt{5}}{10}$
D. $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$
A. $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
B. $\dfrac{\sqrt{55}}{10}$
C. $\dfrac{3\sqrt{5}}{10}$
D. $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$
HD:
Chọn $a=1$, gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ với $A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;2;0),C(1;1;0)$ và $S(0;0;1)$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AS}(0;0;1) \\
& \overrightarrow{AC}(1;1;0) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(SAC)}}}=\left[ \overrightarrow{AS};\overrightarrow{AC} \right]=(-1;1;0)$
Mặt khác $M\left( \dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2} \right),N\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};0 \right)$ (tính chất trung điểm) $\Rightarrow \overrightarrow{MN}\left( 0;\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2} \right)$.
Ta có: $\sin \widehat{\left( MN;(SAC) \right)}=\cos \widehat{\left( \overrightarrow{{{n}_{(SAC)}}};\overrightarrow{MN} \right)}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{\dfrac{10}{4}}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{10}$
$\Rightarrow \cos \widehat{\left( MN;(SAC) \right)}=\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\widehat{\left( MN;(SAC) \right)}}=\dfrac{\sqrt{55}}{10}$.
Chọn $a=1$, gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ với $A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;2;0),C(1;1;0)$ và $S(0;0;1)$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AS}(0;0;1) \\
& \overrightarrow{AC}(1;1;0) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(SAC)}}}=\left[ \overrightarrow{AS};\overrightarrow{AC} \right]=(-1;1;0)$
Mặt khác $M\left( \dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2} \right),N\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};0 \right)$ (tính chất trung điểm) $\Rightarrow \overrightarrow{MN}\left( 0;\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2} \right)$.
Ta có: $\sin \widehat{\left( MN;(SAC) \right)}=\cos \widehat{\left( \overrightarrow{{{n}_{(SAC)}}};\overrightarrow{MN} \right)}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{\dfrac{10}{4}}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{10}$
$\Rightarrow \cos \widehat{\left( MN;(SAC) \right)}=\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\widehat{\left( MN;(SAC) \right)}}=\dfrac{\sqrt{55}}{10}$.
Đáp án B.