Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B . Hình...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy

(A B C D)

trùng với trung điểm AB. Biết

A B = a

,

B C = 2 a

,

B D = a \sqrt{10}

. Góc giữa hai mặt phẳng

(S B D)

và mặt phẳng đáy là 60°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.
A.

V = \frac{3 \sqrt{30} a^{3}}{8}

.
B.

V = \frac{\sqrt{30} a^{3}}{4}

.
C.

V = \frac{\sqrt{30} a^{3}}{12}

.
D.

V = \frac{\sqrt{30} a^{3}}{8}

.

Gọi H là trung điểm AB

\Rightarrow S H ⊥ (A B C D)

Kẻ

H K ⊥ B D (K \in B D) \Rightarrow B D ⊥ (S H K)

\Rightarrow \hat{(S B D); (A B C D)} = \hat{(S K; H K)} = \hat{S K H} = 60^{\circ}

Tam giác ABD vuông tại D, có

A D = \sqrt{B D^{2} - A B^{2}} = 3 a

Và

H K = \frac{1}{2} d [A; (B D)] = \frac{1}{2} . \frac{A B . A D}{\sqrt{A B^{2} + A D^{2}}} = \frac{3 a \sqrt{10}}{20}

Tam giác SHK vuông tại H, có

S H = H K . \tan 60^{\circ} = \frac{3 a \sqrt{30}}{20}

.
Diện tích hình thang ABCD là

S_{A B C D} = \frac{A B . (B C + A D)}{2} = \frac{a . (2 a + 3 a)}{2} = \frac{5 a^{2}}{2}

Vậy thể tích cần tính là

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{3 a \sqrt{30}}{20} . \frac{5 a^{2}}{2} = \frac{\sqrt{30} a^{3}}{8}

.

Đáp án D.