Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy $\left( ABCD \right)$ trùng với trung điểm AB. Biết $AB=a$, $BC=2a$, $BD=a\sqrt{10}$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và mặt phẳng đáy là 60°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.
A. $V=\dfrac{3\sqrt{30}{{a}^{3}}}{8}$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{30}{{a}^{3}}}{4}$.
C. $V=\dfrac{\sqrt{30}{{a}^{3}}}{12}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{30}{{a}^{3}}}{8}$.
A. $V=\dfrac{3\sqrt{30}{{a}^{3}}}{8}$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{30}{{a}^{3}}}{4}$.
C. $V=\dfrac{\sqrt{30}{{a}^{3}}}{12}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{30}{{a}^{3}}}{8}$.
Gọi H là trung điểm AB $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Kẻ $HK\bot BD\left( K\in BD \right)\Rightarrow BD\bot \left( SHK \right)$
$\Rightarrow \widehat{\left( SBD \right);\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SK;HK \right)}=\widehat{SKH}=60{}^\circ $
Tam giác ABD vuông tại D, có $AD=\sqrt{B{{D}^{2}}-A{{B}^{2}}}=3a$
Và $HK=\dfrac{1}{2}d\left[ A;\left( BD \right) \right]=\dfrac{1}{2}.\dfrac{AB.AD}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{3a\sqrt{10}}{20}$
Tam giác SHK vuông tại H, có $SH=HK.\tan 60{}^\circ =\dfrac{3a\sqrt{30}}{20}$.
Diện tích hình thang ABCD là ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{AB.\left( BC+AD \right)}{2}=\dfrac{a.\left( 2a+3a \right)}{2}=\dfrac{5{{a}^{2}}}{2}$
Vậy thể tích cần tính là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a\sqrt{30}}{20}.\dfrac{5{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{\sqrt{30}{{a}^{3}}}{8}$.
Kẻ $HK\bot BD\left( K\in BD \right)\Rightarrow BD\bot \left( SHK \right)$
$\Rightarrow \widehat{\left( SBD \right);\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SK;HK \right)}=\widehat{SKH}=60{}^\circ $
Tam giác ABD vuông tại D, có $AD=\sqrt{B{{D}^{2}}-A{{B}^{2}}}=3a$
Và $HK=\dfrac{1}{2}d\left[ A;\left( BD \right) \right]=\dfrac{1}{2}.\dfrac{AB.AD}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{3a\sqrt{10}}{20}$
Tam giác SHK vuông tại H, có $SH=HK.\tan 60{}^\circ =\dfrac{3a\sqrt{30}}{20}$.
Diện tích hình thang ABCD là ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{AB.\left( BC+AD \right)}{2}=\dfrac{a.\left( 2a+3a \right)}{2}=\dfrac{5{{a}^{2}}}{2}$
Vậy thể tích cần tính là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a\sqrt{30}}{20}.\dfrac{5{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{\sqrt{30}{{a}^{3}}}{8}$.
Đáp án D.