Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A,D,AD=CD=a,AB=2a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh bên $SC$ và mặt phẳng...

Phương pháp:
- Chứng minh $\dfrac{d\left( I;\left( SBC \right) \right)}{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{IB}{AB}=\dfrac{1}{2}.$
- Chứng minh $ADCI$ là hình vuông và $BC\bot \left( SAC \right).$
- Trong $\left( SAC \right)$ kẻ $AH\bot SC,$ chứng minh $AH\bot \left( SBC \right)$.
- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân tính $AH.$
Cách giải:

Ta có $IA\cap \left( SBC \right)=B\Rightarrow \dfrac{d\left( I;\left( SBC \right) \right)}{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{IB}{AB}=\dfrac{1}{2}.$
Vì $ADCI$ là hình vuông cạnh $a\Rightarrow CI=a=\dfrac{1}{2}AB.$
$\Rightarrow \Delta ACB$ vuông tại $C\Rightarrow AC\bot BC$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AC \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAC \right).$
Trong $\left( SAC \right)$ kẻ $AH\bot SC$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SC \\
& AH\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AH$
$\Rightarrow d\left( I;\left( ABC \right) \right)=\dfrac{1}{2}AH.$
Ta có $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left( ABCD \right)$
$\Rightarrow \angle \left( SC;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SC;AC \right)=\angle SCA={{45}^{0}}$
$\Rightarrow \Delta SAC$ vuông cân tại $A\Rightarrow AH=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=a.$
Vậy $d\left( I;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{a}{2}.$