Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=2a,AD=a\sqrt{3}$, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SD và mặt phẳng đáy là $30{}^\circ $. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
A. $8\pi {{a}^{2}}$.
B. $\dfrac{8\pi {{a}^{2}}}{3}$.
C. $4\pi {{a}^{2}}$
D. $\dfrac{4\pi {{a}^{2}}}{3}$.
Gọi O, I lần lượt là trung điểm của AC, SC. Ta có: $IO\text{//}SA\Rightarrow IO\bot \left( ABCD \right)$.
Mà: $OA=OB=OC=OD\Rightarrow IO$ là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy $\Rightarrow IA=IB=IC=ID$.
Mặt khác $IS=IC$ nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ có tâm I và bán kính $R=IS=\dfrac{SC}{2}$.
Tam giác SAD vuông tại A và $\widehat{SDA}=30{}^\circ \Rightarrow \tan \widehat{SDA}=\dfrac{SA}{AD}\Rightarrow SA=a$.
$AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{7}; R=IS=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}{2}=a\sqrt{2}$.
Vậy $S=4\pi {{R}^{2}}=8\pi {{a}^{2}}$.
A. $8\pi {{a}^{2}}$.
B. $\dfrac{8\pi {{a}^{2}}}{3}$.
C. $4\pi {{a}^{2}}$
D. $\dfrac{4\pi {{a}^{2}}}{3}$.
Gọi O, I lần lượt là trung điểm của AC, SC. Ta có: $IO\text{//}SA\Rightarrow IO\bot \left( ABCD \right)$.
Mà: $OA=OB=OC=OD\Rightarrow IO$ là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy $\Rightarrow IA=IB=IC=ID$.
Mặt khác $IS=IC$ nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ có tâm I và bán kính $R=IS=\dfrac{SC}{2}$.
Tam giác SAD vuông tại A và $\widehat{SDA}=30{}^\circ \Rightarrow \tan \widehat{SDA}=\dfrac{SA}{AD}\Rightarrow SA=a$.
$AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{7}; R=IS=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}{2}=a\sqrt{2}$.
Vậy $S=4\pi {{R}^{2}}=8\pi {{a}^{2}}$.
Đáp án A.