Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật và $SA\bot \left( ABCD \right)$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Trung tuyến $CN$ của tam giác $SCM$ kéo dài cắt $SD$ tại $P$. Biết rằng $AB=3$, $\cos \left( SC,\left( ABCD \right) \right)=\dfrac{5}{\sqrt{26}}$ và $d\left( C,\left( SBD \right) \right)=\dfrac{12}{13}$. Thể tích khối chóp $S.ANP$ bằng:
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $\dfrac{1}{12}$.
D. $\dfrac{1}{6}$.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $SMD$ với cát tuyến $CNP$ ta có:
$\dfrac{SP}{PD}\cdot \dfrac{DC}{CM}\cdot \dfrac{MN}{NS}=1\Rightarrow \dfrac{SP}{PD}\cdot 2\cdot 1=1\Rightarrow \dfrac{SP}{PD}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{SP}{SD}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.ANP}}}{{{V}_{S.AMD}}}=\dfrac{SN}{SM}\cdot \dfrac{SP}{SD}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Kẻ $AK\bot BD$ tại $K,AH\bot AK$ tại $H$.
Ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{9+A{{D}^{2}}}, \tan \left( SC,\left( ABCD \right) \right)=\sqrt{\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\left( SC,\left( ABCD \right) \right)}-1}=\dfrac{1}{5}$.
Mặt khác: $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên $\left( ABCD \right)$
$\Rightarrow \dfrac{1}{5}=\tan \left( SC,\left( ABCD \right) \right)=\tan \left( SC,AC \right)=\tan \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}\Rightarrow SA=\dfrac{1}{5}\sqrt{9+A{{D}^{2}}}$
$\Rightarrow AK=\dfrac{AB\cdot AD}{AC}=\dfrac{3AD}{\sqrt{9+A{{D}^{2}}}}$
$AH=\dfrac{SA\cdot AK}{SK}=\dfrac{SA.AK}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{K}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{1}{5}\sqrt{9+A{{D}^{2}}}\cdot \dfrac{3AD}{\sqrt{9+A{{D}^{2}}}}}{\sqrt{\dfrac{1}{25}\left( 9+A{{D}^{2}} \right)+\dfrac{9A{{D}^{2}}}{9+A{{D}^{2}}}}}=3AD\sqrt{\dfrac{9+A{{D}^{2}}}{A{{D}^{4}}+243A{{D}^{2}}+81}}$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BD\bot AK \\
BD\bot SA \\
\end{array}\Rightarrow BD\bot \left( SAK \right)\Rightarrow BD\bot AH \right.$
Mặt khác: $SK\bot AH\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH\text{. }$
$AC\cap \left( SBD \right)=O\Rightarrow \dfrac{d\left( C,\left( SBD \right) \right)}{d\left( A,\left( SBD \right) \right)}=\dfrac{CO}{AO}=1\Rightarrow d\left( C,\left( SBD \right) \right)=AH$
$\Rightarrow \dfrac{12}{13}=3AD\sqrt{\dfrac{9+A{{D}^{2}}}{A{{D}^{4}}+243A{{D}^{2}}+81}}\Rightarrow \dfrac{16}{169}=\dfrac{A{{D}^{2}}\left( 9+A{{D}^{2}} \right)}{A{{D}^{4}}+243A{{D}^{2}}+81}$
$\Rightarrow 153A{{D}^{4}}-2367A{{D}^{2}}-1296=0\Rightarrow AD=4\Rightarrow SA=1$
$\Rightarrow {{V}_{S.AMD}}=\dfrac{1}{3}\cdot SA\cdot {{S}_{AMD}}=\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot \dfrac{1}{2}AD\cdot MD=\dfrac{1}{6}\cdot 4\cdot \dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{3}\cdot 3=1\Rightarrow {{V}_{S\cdot ANP}}=\dfrac{1}{6}.$
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $\dfrac{1}{12}$.
D. $\dfrac{1}{6}$.
$\dfrac{SP}{PD}\cdot \dfrac{DC}{CM}\cdot \dfrac{MN}{NS}=1\Rightarrow \dfrac{SP}{PD}\cdot 2\cdot 1=1\Rightarrow \dfrac{SP}{PD}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{SP}{SD}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.ANP}}}{{{V}_{S.AMD}}}=\dfrac{SN}{SM}\cdot \dfrac{SP}{SD}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Kẻ $AK\bot BD$ tại $K,AH\bot AK$ tại $H$.
Ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{9+A{{D}^{2}}}, \tan \left( SC,\left( ABCD \right) \right)=\sqrt{\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\left( SC,\left( ABCD \right) \right)}-1}=\dfrac{1}{5}$.
Mặt khác: $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên $\left( ABCD \right)$
$\Rightarrow \dfrac{1}{5}=\tan \left( SC,\left( ABCD \right) \right)=\tan \left( SC,AC \right)=\tan \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}\Rightarrow SA=\dfrac{1}{5}\sqrt{9+A{{D}^{2}}}$
$\Rightarrow AK=\dfrac{AB\cdot AD}{AC}=\dfrac{3AD}{\sqrt{9+A{{D}^{2}}}}$
$AH=\dfrac{SA\cdot AK}{SK}=\dfrac{SA.AK}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{K}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{1}{5}\sqrt{9+A{{D}^{2}}}\cdot \dfrac{3AD}{\sqrt{9+A{{D}^{2}}}}}{\sqrt{\dfrac{1}{25}\left( 9+A{{D}^{2}} \right)+\dfrac{9A{{D}^{2}}}{9+A{{D}^{2}}}}}=3AD\sqrt{\dfrac{9+A{{D}^{2}}}{A{{D}^{4}}+243A{{D}^{2}}+81}}$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BD\bot AK \\
BD\bot SA \\
\end{array}\Rightarrow BD\bot \left( SAK \right)\Rightarrow BD\bot AH \right.$
Mặt khác: $SK\bot AH\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH\text{. }$
$AC\cap \left( SBD \right)=O\Rightarrow \dfrac{d\left( C,\left( SBD \right) \right)}{d\left( A,\left( SBD \right) \right)}=\dfrac{CO}{AO}=1\Rightarrow d\left( C,\left( SBD \right) \right)=AH$
$\Rightarrow \dfrac{12}{13}=3AD\sqrt{\dfrac{9+A{{D}^{2}}}{A{{D}^{4}}+243A{{D}^{2}}+81}}\Rightarrow \dfrac{16}{169}=\dfrac{A{{D}^{2}}\left( 9+A{{D}^{2}} \right)}{A{{D}^{4}}+243A{{D}^{2}}+81}$
$\Rightarrow 153A{{D}^{4}}-2367A{{D}^{2}}-1296=0\Rightarrow AD=4\Rightarrow SA=1$
$\Rightarrow {{V}_{S.AMD}}=\dfrac{1}{3}\cdot SA\cdot {{S}_{AMD}}=\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot \dfrac{1}{2}AD\cdot MD=\dfrac{1}{6}\cdot 4\cdot \dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{3}\cdot 3=1\Rightarrow {{V}_{S\cdot ANP}}=\dfrac{1}{6}.$
Đáp án D.