Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình chữ nhật và $SA\bot \left(...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy là hình chữ nhật và

S A ⊥ (A B C D)

. Gọi

M

là trung điểm của

C D

. Trung tuyến

C N

của tam giác

S C M

kéo dài cắt

S D

tại

P

. Biết rằng

A B = 3

,

\cos (S C, (A B C D)) = \frac{5}{\sqrt{26}}

và

d (C, (S B D)) = \frac{12}{13}

. Thể tích khối chóp

S . A N P

bằng:
A.

\frac{1}{2}

.
B.

\frac{1}{3}

.
C.

\frac{1}{12}

.
D.

\frac{1}{6}

.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác

S M D

với cát tuyến

C N P

ta có:

\frac{S P}{P D} \cdot \frac{D C}{C M} \cdot \frac{M N}{N S} = 1 \Rightarrow \frac{S P}{P D} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \Rightarrow \frac{S P}{P D} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{S P}{S D} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{V_{S . A N P}}{V_{S . A M D}} = \frac{S N}{S M} \cdot \frac{S P}{S D} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

Gọi

O

là giao điểm của

A C

và

B D

. Kẻ

A K ⊥ B D

tại

K, A H ⊥ A K

tại

H

.
Ta có:

A C = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = \sqrt{9 + A D^{2}}, \tan (S C, (A B C D)) = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2} (S C, (A B C D))} - 1} = \frac{1}{5}

.
Mặt khác:

A C

là hình chiếu của

S C

trên

(A B C D)

\Rightarrow \frac{1}{5} = \tan (S C, (A B C D)) = \tan (S C, A C) = \tan \hat{S C A} = \frac{S A}{A C} \Rightarrow S A = \frac{1}{5} \sqrt{9 + A D^{2}}

\Rightarrow A K = \frac{A B \cdot A D}{A C} = \frac{3 A D}{\sqrt{9 + A D^{2}}}

A H = \frac{S A \cdot A K}{S K} = \frac{S A . A K}{\sqrt{S A^{2} + A K^{2}}} = \frac{\frac{1}{5} \sqrt{9 + A D^{2}} \cdot \frac{3 A D}{\sqrt{9 + A D^{2}}}}{\sqrt{\frac{1}{25} (9 + A D^{2}) + \frac{9 A D^{2}}{9 + A D^{2}}}} = 3 A D \sqrt{\frac{9 + A D^{2}}{A D^{4} + 243 A D^{2} + 81}}

Ta có:

{\begin{cases} B D ⊥ A K \\ B D ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B D ⊥ (S A K) \Rightarrow B D ⊥ A H

Mặt khác:

S K ⊥ A H \Rightarrow A H ⊥ (S B D) \Rightarrow d (A, (S B D)) = A H .

A C \cap (S B D) = O \Rightarrow \frac{d (C, (S B D))}{d (A, (S B D))} = \frac{C O}{A O} = 1 \Rightarrow d (C, (S B D)) = A H

\Rightarrow \frac{12}{13} = 3 A D \sqrt{\frac{9 + A D^{2}}{A D^{4} + 243 A D^{2} + 81}} \Rightarrow \frac{16}{169} = \frac{A D^{2} (9 + A D^{2})}{A D^{4} + 243 A D^{2} + 81}

\Rightarrow 153 A D^{4} - 2367 A D^{2} - 1296 = 0 \Rightarrow A D = 4 \Rightarrow S A = 1

\Rightarrow V_{S . A M D} = \frac{1}{3} \cdot S A \cdot S_{A M D} = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} A D \cdot M D = \frac{1}{6} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} A B = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1 \Rightarrow V_{S \cdot A N P} = \frac{1}{6} .

Đáp án D.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và $SA\bot \left(...