Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, $S\text{D}\bot...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O,

S D ⊥ (A B C D), AD = a

và

\hat{A O D} = 60^{\circ}

. Biết SC tạo với đáy một góc

45^{\circ}

. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
A.

\frac{2 a \sqrt{21}}{21}

B.

\frac{a \sqrt{6}}{4}

C.

\frac{a \sqrt{15}}{5}

D.

\frac{2 a}{3}

Gọi M là trung điểm của SD.

Ta có tam giác ADO đều nên

D C = A D \sqrt{3} = a \sqrt{3} \Rightarrow S D = D C = a \sqrt{3} \Rightarrow D M = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.
Kẻ DH vuông góc với AC và DK vuông góc với MH.
Ta có

d (A C, S B) = d ((A M C), S B) = d (S, (A M C)) = d (D, (A M C))

.
Khi đó D.MAC là tứ diện vuông nên

\frac{1}{D K^{2}} = \frac{1}{D M^{2}} + \frac{1}{D A^{2}} + \frac{1}{D C^{2}} = \frac{8}{3 a^{2}} \Rightarrow D K = \frac{a \sqrt{6}}{4}

.

Đáp án B.