Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, $S\text{D}\bot \left( ABC\text{D} \right),\text{ AD}=a$ và $\widehat{AO\text{D}}=60{}^\circ $. Biết SC tạo với đáy một góc $45{}^\circ $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
A. $\dfrac{2\text{a}\sqrt{21}}{21}$
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$
C. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
D. $\dfrac{2\text{a}}{3}$
A. $\dfrac{2\text{a}\sqrt{21}}{21}$
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$
C. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
D. $\dfrac{2\text{a}}{3}$
Gọi M là trung điểm của SD.
Ta có tam giác ADO đều nên
$DC=A\text{D}\sqrt{3}=a\sqrt{3}\Rightarrow S\text{D}=DC=a\sqrt{3}\Rightarrow DM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Kẻ DH vuông góc với AC và DK vuông góc với MH.
Ta có
$d\left( AC,SB \right)=d\left( (AMC),SB \right)=d\left( S,(AMC) \right)=d\left( D,(AMC) \right)$.
Khi đó D.MAC là tứ diện vuông nên $\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}=\dfrac{8}{3{{\text{a}}^{2}}}\Rightarrow DK=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
Ta có tam giác ADO đều nên
$DC=A\text{D}\sqrt{3}=a\sqrt{3}\Rightarrow S\text{D}=DC=a\sqrt{3}\Rightarrow DM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Kẻ DH vuông góc với AC và DK vuông góc với MH.
Ta có
$d\left( AC,SB \right)=d\left( (AMC),SB \right)=d\left( S,(AMC) \right)=d\left( D,(AMC) \right)$.
Khi đó D.MAC là tứ diện vuông nên $\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}=\dfrac{8}{3{{\text{a}}^{2}}}\Rightarrow DK=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
Đáp án B.