Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình chữ nhật, cạnh bên $S A$ ...

The Knowledge · 28/3/22

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy là hình chữ nhật, cạnh bên

S A

vuông góc với mặt phẳng đáy

(A B C D)

,

A B = \sqrt{5}

,

A D = \sqrt{2}

,

S A = \sqrt{3}

. Gọi

M, N

lần lượt là hình chiếu của

A

trên

S B

,

S D

và

P

là điểm nằm trên cạnh

S C

sao cho

2 S P = 3 P C

. Thể tích khối đa diện

A C M P N

là
A.

V = \frac{31 \sqrt{30}}{400} \cdot

B.

V = \frac{13 \sqrt{30}}{200} \cdot

C.

V = \frac{39 \sqrt{30}}{200} \cdot

D.

V = \frac{41 \sqrt{30}}{200} \cdot

Ta có

2 S P = 3 P C \Leftrightarrow 2 S P = 3 (S C - S P) \Leftrightarrow \frac{S P}{S C} = \frac{3}{5} .

Ta lại có

V_{A C M P N} = V_{S . A B C D} - V_{S A M P N} - V_{M . A B C} - V_{N . A D C} (*) .

Áp dụng công thức tỉ số thể tích cho các khối đa diện như sau:

\frac{V_{S . A M P}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A}{S A} . \frac{S M}{S B} . \frac{S P}{S C} = \frac{S A^{2}}{S B^{2}} . \frac{S P}{S C} = \frac{3}{8} . \frac{3}{5} = \frac{9}{40} \Rightarrow V_{S . A M P} = \frac{9}{40} V_{S . A B C}

.

\frac{V_{S . A N P}}{V_{S . A D C}} = \frac{S A}{S A} . \frac{S N}{S D} . \frac{S P}{S C} = \frac{S A^{2}}{S D^{2}} . \frac{S P}{S C} = \frac{3}{5} . \frac{3}{5} = \frac{9}{25} \Rightarrow V_{S . A N P} = \frac{9}{25} V_{S . A D C}

.

V_{S A M P N} = V_{S . A M P} + V_{S . A N P} = \frac{9}{40} V_{S . A B C} + \frac{9}{25} V_{S . A D C} = \frac{117}{200} V_{S . A B C} = \frac{117}{400} V_{S . A B C D}

.

V_{M . A B C} = \frac{M H}{S A} V_{S . A B C} = \frac{B M}{B S} V_{S . A B C} = \frac{5}{8} V_{S . A B C} = \frac{5}{16} V_{S . A B C D}

.

V_{N . A D C} = \frac{N K}{S A} V_{S . A D C} = \frac{D N}{D S} V_{S . A D C} = \frac{2}{5} V_{S . A D C} = \frac{1}{5} V_{S . A B C D}

.
Thay vào

(*)

ta được

\begin{aligned} V_{A C M P N} = V_{S . A B C D} - V_{S A M P N} - V_{M . A B C} - V_{N . A D C} = V_{S . A B C D} - \frac{117}{400} V_{S . A B C D} - \frac{5}{16} V_{S . A B C D} - \frac{1}{5} V_{S . A B C D} \\ = \frac{39}{200} V_{S . A B C D} = \frac{39}{200} . \frac{1}{3} \sqrt{3} . \sqrt{2} . \sqrt{5} = \frac{13 \sqrt{30}}{200} . \end{aligned}

Đáp án B.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, cạnh bên SA...