Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy
$\left( ABCD \right)$, $AB=\sqrt{5}$, $AD=\sqrt{2}$, $SA=\sqrt{3}$. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB$, $SD$ và $P$ là điểm nằm trên cạnh $SC$ sao cho $2SP=3PC$. Thể tích khối đa diện $ACMPN$ là
A. $V=\dfrac{31\sqrt{30}}{400}\cdot $
B. $V=\dfrac{13\sqrt{30}}{200}\cdot $
C. $V=\dfrac{39\sqrt{30}}{200}\cdot $
D. $V=\dfrac{41\sqrt{30}}{200}\cdot $
Ta có $2SP=3PC\Leftrightarrow 2SP=3\left( SC-SP \right)\Leftrightarrow \dfrac{SP}{SC}=\dfrac{3}{5}.$
Ta lại có ${{V}_{ACMPN}}={{V}_{S.ABCD}}-V{}_{SAMPN}-{{V}_{M.ABC}}-{{V}_{N.ADC}}\left( * \right)\text{.}$
Áp dụng công thức tỉ số thể tích cho các khối đa diện như sau:
$\dfrac{V{}_{S.AMP}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}.\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{3}{8}.\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{40}\Rightarrow V{}_{S.AMP}=\dfrac{9}{40}{{V}_{S.ABC}}$.
$\dfrac{V{}_{S.ANP}}{{{V}_{S.ADC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SN}{SD}.\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{D}^{2}}}.\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{3}{5}.\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}\Rightarrow V{}_{S.ANP}=\dfrac{9}{25}{{V}_{S.ADC}}$.
${{V}_{SAMPN}}={{V}_{S.AMP}}+V{}_{S.ANP}=\dfrac{9}{40}{{V}_{S.ABC}}+\dfrac{9}{25}{{V}_{S.ADC}}=\dfrac{117}{200}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{117}{400}{{V}_{S.ABCD}}$.
${{V}_{M.ABC}}=\dfrac{MH}{SA}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{BM}{BS}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{5}{8}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{5}{16}{{V}_{S.ABCD}}$.
${{V}_{N.ADC}}=\dfrac{NK}{SA}{{V}_{S.ADC}}=\dfrac{DN}{DS}{{V}_{S.ADC}}=\dfrac{2}{5}{{V}_{S.ADC}}=\dfrac{1}{5}{{V}_{S.ABCD}}$.
Thay vào $\left( * \right)$ ta được
$\begin{aligned}
& {{V}_{ACMPN}}={{V}_{S.ABCD}}-V{}_{SAMPN}-{{V}_{M.ABC}}-{{V}_{N.ADC}}={{V}_{S.ABCD}}-\dfrac{117}{400}{{V}_{S.ABCD}}-\dfrac{5}{16}{{V}_{S.ABCD}}-\dfrac{1}{5}{{V}_{S.ABCD}} \\
& \text{ }=\dfrac{39}{200}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{39}{200}.\dfrac{1}{3}\sqrt{3}.\sqrt{2}.\sqrt{5}=\dfrac{13\sqrt{30}}{200}. \\
\end{aligned}$
$\left( ABCD \right)$, $AB=\sqrt{5}$, $AD=\sqrt{2}$, $SA=\sqrt{3}$. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB$, $SD$ và $P$ là điểm nằm trên cạnh $SC$ sao cho $2SP=3PC$. Thể tích khối đa diện $ACMPN$ là
A. $V=\dfrac{31\sqrt{30}}{400}\cdot $
B. $V=\dfrac{13\sqrt{30}}{200}\cdot $
C. $V=\dfrac{39\sqrt{30}}{200}\cdot $
D. $V=\dfrac{41\sqrt{30}}{200}\cdot $
Ta lại có ${{V}_{ACMPN}}={{V}_{S.ABCD}}-V{}_{SAMPN}-{{V}_{M.ABC}}-{{V}_{N.ADC}}\left( * \right)\text{.}$
Áp dụng công thức tỉ số thể tích cho các khối đa diện như sau:
$\dfrac{V{}_{S.AMP}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}.\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{3}{8}.\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{40}\Rightarrow V{}_{S.AMP}=\dfrac{9}{40}{{V}_{S.ABC}}$.
$\dfrac{V{}_{S.ANP}}{{{V}_{S.ADC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SN}{SD}.\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{D}^{2}}}.\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{3}{5}.\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}\Rightarrow V{}_{S.ANP}=\dfrac{9}{25}{{V}_{S.ADC}}$.
${{V}_{SAMPN}}={{V}_{S.AMP}}+V{}_{S.ANP}=\dfrac{9}{40}{{V}_{S.ABC}}+\dfrac{9}{25}{{V}_{S.ADC}}=\dfrac{117}{200}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{117}{400}{{V}_{S.ABCD}}$.
${{V}_{M.ABC}}=\dfrac{MH}{SA}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{BM}{BS}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{5}{8}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{5}{16}{{V}_{S.ABCD}}$.
${{V}_{N.ADC}}=\dfrac{NK}{SA}{{V}_{S.ADC}}=\dfrac{DN}{DS}{{V}_{S.ADC}}=\dfrac{2}{5}{{V}_{S.ADC}}=\dfrac{1}{5}{{V}_{S.ABCD}}$.
Thay vào $\left( * \right)$ ta được
$\begin{aligned}
& {{V}_{ACMPN}}={{V}_{S.ABCD}}-V{}_{SAMPN}-{{V}_{M.ABC}}-{{V}_{N.ADC}}={{V}_{S.ABCD}}-\dfrac{117}{400}{{V}_{S.ABCD}}-\dfrac{5}{16}{{V}_{S.ABCD}}-\dfrac{1}{5}{{V}_{S.ABCD}} \\
& \text{ }=\dfrac{39}{200}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{39}{200}.\dfrac{1}{3}\sqrt{3}.\sqrt{2}.\sqrt{5}=\dfrac{13\sqrt{30}}{200}. \\
\end{aligned}$
Đáp án B.