Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, biết $AB=2a, AD=a, SA=3a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BM$ bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{3}a}{4}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{3}a}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}a}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$.
Gọi $O$ là tâm hình chữ nhật, $I=BM\cap AC$.
Dựng $IN \text{//} SC$ $\left( N\in SA \right)$, $AK\bot BM, AH\bot NK$ $\left( K\in BM, H\in NK \right)$.
Dễ dàng chứng minh được $AH\bot \left( BMN \right)$. Khi đó:
$d\left( SC, BM \right)=d\left( SC, \left( BMN \right) \right)=d\left( C, \left( BMN \right) \right)$.
Ta lại có: $\dfrac{d\left( C, \left( BMN \right) \right)}{d\left( A, \left( BMN \right) \right)}=\dfrac{CI}{AI}=\dfrac{\dfrac{2}{3}CO}{CO+\dfrac{1}{3}CO}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d\left( C, \left( BMN \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A, \left( BMN \right) \right)=\dfrac{1}{2}AH$.
Xét tam giác vuông $ANK$ :
* $AK=\dfrac{2{{S}_{ABM}}}{BM}=\dfrac{AB.d\left( M,AB \right)}{BM}=\dfrac{2a.a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=a\sqrt{2}$.
* $\dfrac{AN}{AS}=\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow AN=\dfrac{2}{3}AS=\dfrac{2}{3}.3a=2a$
Suy ra: $AH=\dfrac{AN.AK}{\sqrt{A{{N}^{2}}+A{{K}^{2}}}}=\dfrac{2a.a\sqrt{2}}{\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{3}a}{3}$.
Vậy: $d\left( SC, BM \right)=\dfrac{1}{2}AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Cách 2:
Chọn hệ tọa độ $\text{Ox}yz$ sao cho $A\equiv O$ ; $B\in O\text{x}$ nên $B\left( 2a ; 0 ; 0 \right)$,
$D\in Oy$ nên $D\left( 0 ; a ; 0 \right)$, $S\in Oz$ nên $S\left( 0 ; 0 ; 3a \right)$ $\Rightarrow C\left( 2a ; a ; 0 \right)$ và $M\left( a ; a ; 0 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{SC}=\left( 2a ; a ; -3a \right)$ ; $\overrightarrow{BM}=\left( -a ; a ; 0 \right)$
$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{SC},\overrightarrow{BM} \right]=\left( 3{{a}^{2}} ; 3{{a}^{2}} ; 3{{a}^{2}} \right)$ và $\overrightarrow{SB}=\left( 2a ; 0 ; -3a \right)$.
Vậy ${{d}_{\left( Sc,BM \right)}}=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{SC},\overrightarrow{BM} \right].\overrightarrow{SB} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{SC},\overrightarrow{BM} \right] \right|}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
A. $\dfrac{3\sqrt{3}a}{4}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{3}a}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}a}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$.
Dựng $IN \text{//} SC$ $\left( N\in SA \right)$, $AK\bot BM, AH\bot NK$ $\left( K\in BM, H\in NK \right)$.
Dễ dàng chứng minh được $AH\bot \left( BMN \right)$. Khi đó:
$d\left( SC, BM \right)=d\left( SC, \left( BMN \right) \right)=d\left( C, \left( BMN \right) \right)$.
Ta lại có: $\dfrac{d\left( C, \left( BMN \right) \right)}{d\left( A, \left( BMN \right) \right)}=\dfrac{CI}{AI}=\dfrac{\dfrac{2}{3}CO}{CO+\dfrac{1}{3}CO}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d\left( C, \left( BMN \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A, \left( BMN \right) \right)=\dfrac{1}{2}AH$.
Xét tam giác vuông $ANK$ :
* $AK=\dfrac{2{{S}_{ABM}}}{BM}=\dfrac{AB.d\left( M,AB \right)}{BM}=\dfrac{2a.a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=a\sqrt{2}$.
* $\dfrac{AN}{AS}=\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow AN=\dfrac{2}{3}AS=\dfrac{2}{3}.3a=2a$
Suy ra: $AH=\dfrac{AN.AK}{\sqrt{A{{N}^{2}}+A{{K}^{2}}}}=\dfrac{2a.a\sqrt{2}}{\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{3}a}{3}$.
Vậy: $d\left( SC, BM \right)=\dfrac{1}{2}AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Cách 2:
$D\in Oy$ nên $D\left( 0 ; a ; 0 \right)$, $S\in Oz$ nên $S\left( 0 ; 0 ; 3a \right)$ $\Rightarrow C\left( 2a ; a ; 0 \right)$ và $M\left( a ; a ; 0 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{SC}=\left( 2a ; a ; -3a \right)$ ; $\overrightarrow{BM}=\left( -a ; a ; 0 \right)$
$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{SC},\overrightarrow{BM} \right]=\left( 3{{a}^{2}} ; 3{{a}^{2}} ; 3{{a}^{2}} \right)$ và $\overrightarrow{SB}=\left( 2a ; 0 ; -3a \right)$.
Vậy ${{d}_{\left( Sc,BM \right)}}=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{SC},\overrightarrow{BM} \right].\overrightarrow{SB} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{SC},\overrightarrow{BM} \right] \right|}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án C.