Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy là hình chữ nhật, ${AB=a ,AD=2a , \Delta SAB}$ cân tại ${S}$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng ${SC}$ và ${\left( ABCD \right)}$ bằng ${{{45}^{0}}}$. ${M}$ là trung điểm của ${SD}$. Tính theo ${a}$ khoảng cách ${d}$ từ ${M}$ đến mặt phẳng ${\left( SAC \right)}$.
A. ${d=\dfrac{a\sqrt{1513}}{89}.}$
B. ${d=\dfrac{2a\sqrt{1513}}{89}.}$
C. ${d=\dfrac{a\sqrt{1315}}{89}.}$
D. ${d=\dfrac{2a\sqrt{1315}}{89}.}$
Gọi H là trung điểm của $AB\Rightarrow SH\bot AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và HC và là góc $\widehat{SCH}={{45}^{0}}.$
Do đó $\Delta SHC$ vuông cân tại $H\Rightarrow SH=HC=\sqrt{H{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{\dfrac{1}{4}+4}=\dfrac{a\sqrt{17}}{2}$
Ta có $\dfrac{{{d}_{\left( M;\left( SAC \right) \right)}}}{{{d}_{\left( d;\left( SAC \right) \right)}}}=\dfrac{MS}{DS}=\dfrac{1}{2};{{d}_{\left( D;\left( SAC \right) \right)}}={{d}_{\left( B;\left( SAC \right) \right)}}=\dfrac{{{d}_{\left( B;\left( SAC \right) \right)}}}{{{d}_{\left( H;\left( SAC \right) \right)}}}=\dfrac{BA}{HA}=2$
$\Rightarrow {{d}_{\left( M;\left( SAC \right) \right)}}={{d}_{\left( H;\left( SAC \right) \right)}}$
Hạ $HK\bot AC;HL\bot SK$
$\left. \begin{aligned}
& HK\bot AC \\
& SH\bot AC \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AC\bot \left( SHK \right)\Rightarrow AC\bot HL$
$\left. \begin{aligned}
& AC\bot HL \\
& SK\bot HL \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow HL\bot \left( SAC \right)\Rightarrow {{d}_{\left( H;\left( SAC \right) \right)}}=HL$
$HK=\dfrac{2{{S}_{AHC}}}{AC}=\dfrac{{{S}_{ABC}}}{AC}=\dfrac{\dfrac{2{{a}^{2}}}{2}}{a\sqrt{5}}=\dfrac{a}{\sqrt{5}}$
$\Rightarrow {{d}_{\left( M;\left( SAC \right) \right)}}={{d}_{\left( H;\left( SAC \right) \right)}}=HL=\dfrac{HS.HK}{\sqrt{H{{S}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{1513}}{89}$
A. ${d=\dfrac{a\sqrt{1513}}{89}.}$
B. ${d=\dfrac{2a\sqrt{1513}}{89}.}$
C. ${d=\dfrac{a\sqrt{1315}}{89}.}$
D. ${d=\dfrac{2a\sqrt{1315}}{89}.}$
Gọi H là trung điểm của $AB\Rightarrow SH\bot AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và HC và là góc $\widehat{SCH}={{45}^{0}}.$
Do đó $\Delta SHC$ vuông cân tại $H\Rightarrow SH=HC=\sqrt{H{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{\dfrac{1}{4}+4}=\dfrac{a\sqrt{17}}{2}$
Ta có $\dfrac{{{d}_{\left( M;\left( SAC \right) \right)}}}{{{d}_{\left( d;\left( SAC \right) \right)}}}=\dfrac{MS}{DS}=\dfrac{1}{2};{{d}_{\left( D;\left( SAC \right) \right)}}={{d}_{\left( B;\left( SAC \right) \right)}}=\dfrac{{{d}_{\left( B;\left( SAC \right) \right)}}}{{{d}_{\left( H;\left( SAC \right) \right)}}}=\dfrac{BA}{HA}=2$
$\Rightarrow {{d}_{\left( M;\left( SAC \right) \right)}}={{d}_{\left( H;\left( SAC \right) \right)}}$
Hạ $HK\bot AC;HL\bot SK$
$\left. \begin{aligned}
& HK\bot AC \\
& SH\bot AC \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AC\bot \left( SHK \right)\Rightarrow AC\bot HL$
$\left. \begin{aligned}
& AC\bot HL \\
& SK\bot HL \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow HL\bot \left( SAC \right)\Rightarrow {{d}_{\left( H;\left( SAC \right) \right)}}=HL$
$HK=\dfrac{2{{S}_{AHC}}}{AC}=\dfrac{{{S}_{ABC}}}{AC}=\dfrac{\dfrac{2{{a}^{2}}}{2}}{a\sqrt{5}}=\dfrac{a}{\sqrt{5}}$
$\Rightarrow {{d}_{\left( M;\left( SAC \right) \right)}}={{d}_{\left( H;\left( SAC \right) \right)}}=HL=\dfrac{HS.HK}{\sqrt{H{{S}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{1513}}{89}$
Đáp án A.