Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB=a, AD=2a, SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $SD$.
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
Gọi $K$ là trung điểm của $BC\Rightarrow BM // DK\Rightarrow BM // \left( SDK \right)$
$\Rightarrow d\left( BM, SD \right)=d\left( BM, \left( SDK \right) \right)=d\left( M, \left( SDK \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A, \left( SDK \right) \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $SK$.
Ta dễ dàng chỉ ra được $AH\bot \left( SDK \right)\Rightarrow d\left( A, \left( SDK \right) \right)=AH$.
Tam giác $SAK$ vuông tại $A$ có $AK=a\sqrt{2}, AS=a\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{2{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow d\left( BM, SD \right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
Gọi $K$ là trung điểm của $BC\Rightarrow BM // DK\Rightarrow BM // \left( SDK \right)$
$\Rightarrow d\left( BM, SD \right)=d\left( BM, \left( SDK \right) \right)=d\left( M, \left( SDK \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A, \left( SDK \right) \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $SK$.
Ta dễ dàng chỉ ra được $AH\bot \left( SDK \right)\Rightarrow d\left( A, \left( SDK \right) \right)=AH$.
Tam giác $SAK$ vuông tại $A$ có $AK=a\sqrt{2}, AS=a\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{2{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow d\left( BM, SD \right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$
Đáp án D.