Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $A B=3$, $AD=2$. Mặt bên $\left( SAB \right)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A. $V=\dfrac{16\pi }{3}\cdot $
B. $V=\dfrac{10\pi }{3}\cdot $
C. $V=\dfrac{32\pi }{3}\cdot $
D. $V=\dfrac{20\pi }{3}\cdot $
Gọi $O=AC\cap DB$ ;
$M$ là trung điểm $AB$, $\Delta SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $\Rightarrow SM\bot \left( ABC\text{D} \right)$. Do $OM\parallel BC\Rightarrow OM\bot \left( SAB \right)$.
$N$ là trọng tâm $\Delta SAB$ đều, nên $N$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAB$ ;
Từ $N,O$ dựng các đường lần lượt song song với $OM;SM$, cắt nhau tại $K$ Dựng $NK\parallel OM\Rightarrow NK\bot \left( SAB \right)$ ; $OK\parallel SM\Rightarrow OK\bot \left( ABC\text{D} \right)$. Vậy $K$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho; bán kính mặt cầu $R=SK$.
Có $NK=OM=\dfrac{A\text{D}}{2}=1$ ; $SN=\dfrac{2}{3}SM=\dfrac{2}{3}.AB\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.
$SK=\sqrt{S{{N}^{2}}+K{{N}^{2}}}=2$.
Thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là $V=\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( 2 \right)}^{3}}=\dfrac{32\pi }{3}$
A. $V=\dfrac{16\pi }{3}\cdot $
B. $V=\dfrac{10\pi }{3}\cdot $
C. $V=\dfrac{32\pi }{3}\cdot $
D. $V=\dfrac{20\pi }{3}\cdot $
$M$ là trung điểm $AB$, $\Delta SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $\Rightarrow SM\bot \left( ABC\text{D} \right)$. Do $OM\parallel BC\Rightarrow OM\bot \left( SAB \right)$.
$N$ là trọng tâm $\Delta SAB$ đều, nên $N$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAB$ ;
Từ $N,O$ dựng các đường lần lượt song song với $OM;SM$, cắt nhau tại $K$ Dựng $NK\parallel OM\Rightarrow NK\bot \left( SAB \right)$ ; $OK\parallel SM\Rightarrow OK\bot \left( ABC\text{D} \right)$. Vậy $K$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho; bán kính mặt cầu $R=SK$.
Có $NK=OM=\dfrac{A\text{D}}{2}=1$ ; $SN=\dfrac{2}{3}SM=\dfrac{2}{3}.AB\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.
$SK=\sqrt{S{{N}^{2}}+K{{N}^{2}}}=2$.
Thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là $V=\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( 2 \right)}^{3}}=\dfrac{32\pi }{3}$
Đáp án C.