Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình vuông cạnh $a$. Mặt bên SAB là...

Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$, $H$ là trung điểm của $AB$ nên $SH\bot AB$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
& SH\subset \left( SAB \right),SH\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Từ $H$ dựng $HM\bot AC$ tại $M$, từ $H$ dựng $HK\bot SM$ tại $K$. Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot HM \\
& AC\bot SH\left( SH\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SHM \right)\Rightarrow AC\bot HK$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& HK\bot SM \\
& HK\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HK\bot \left( SAC \right) $ tại $ K $ nên $ d\left( H,\left( SAC \right) \right)=HK$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& SH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2} \\
& HM=\dfrac{BD}{4}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4} \\
\end{aligned} \right. $. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ SHM$. Ta có
$\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{4}{{{a}^{2}}}+\dfrac{8}{{{a}^{2}}}\Leftrightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
Vậy $d\left( H,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.