Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình chữ nhật tâm $O,AB=a,AD=a\sqrt{3},$ biết $SA=SB=SO=a.$ Tính theo $a$ thể tích của khối chóp đó.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
D. $V={{a}^{3}}\sqrt{2}.$
Ta có $AC=BD=\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=2a\Rightarrow OA=OB=a.$
Vậy hình chóp $S.ABO$ là tứ diện đều cạnh bằng $a.$ Gọi $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta ABO$. Khi đó $SH$ là đường cao của hình chóp $S.ABO$
$OH=\dfrac{2}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3};SH=\sqrt{S{{O}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3};{{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
${{V}_{S.ABO}}=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{12}.$ Khi đó ${{V}_{S.ABCD}}=4.{{V}_{S.ABO}}=4.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}.$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
D. $V={{a}^{3}}\sqrt{2}.$
Ta có $AC=BD=\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=2a\Rightarrow OA=OB=a.$
Vậy hình chóp $S.ABO$ là tứ diện đều cạnh bằng $a.$ Gọi $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta ABO$. Khi đó $SH$ là đường cao của hình chóp $S.ABO$
$OH=\dfrac{2}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3};SH=\sqrt{S{{O}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3};{{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
${{V}_{S.ABO}}=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{12}.$ Khi đó ${{V}_{S.ABCD}}=4.{{V}_{S.ABO}}=4.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}.$
Đáp án B.