Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi và góc tạo bởi các mặt phẳng $(SAB),(SBC),(SCD),(SDA)$ với mặt đáy lần lượt là $90{}^\circ ,60{}^\circ ,60{}^\circ ,60{}^\circ .$ Biết rằng tam giác SAB vuông cân tại S, $AB=a$ và chu vi tứ giác ABCD là 9a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
B. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
Gọi H là trung điểm của AB suy ra $SH\bot AB$
Do $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$ nên $SH\bot \left( ABCD \right)$
Dựng $HM\bot BC,HN\bot CD,HP\bot AD$
Suy ra $\widehat{SMH}=\widehat{SNH}=\widehat{SPH}=60{}^\circ $
Ta có: $SH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2},HM\tan 60{}^\circ =HN\tan 60{}^\circ $
$=HP\tan 60{}^\circ =SH\Rightarrow HM=HN=HP=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
Mặt khác ${{S}_{ABCD}}={{S}_{BHC}}+{{S}_{CHD}}+{{S}_{DHA}}$
$=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.\left( BC+CD+AD \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{12}.\left( 9a-a \right)=\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}S.h=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
A. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
B. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
Gọi H là trung điểm của AB suy ra $SH\bot AB$
Do $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$ nên $SH\bot \left( ABCD \right)$
Dựng $HM\bot BC,HN\bot CD,HP\bot AD$
Suy ra $\widehat{SMH}=\widehat{SNH}=\widehat{SPH}=60{}^\circ $
Ta có: $SH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2},HM\tan 60{}^\circ =HN\tan 60{}^\circ $
$=HP\tan 60{}^\circ =SH\Rightarrow HM=HN=HP=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
Mặt khác ${{S}_{ABCD}}={{S}_{BHC}}+{{S}_{CHD}}+{{S}_{DHA}}$
$=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.\left( BC+CD+AD \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{12}.\left( 9a-a \right)=\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}S.h=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
Đáp án C.