Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi và góc tạo bởi các mặt phẳng $\left( SAB \right)$, $\left( SBC \right)$, $\left( SC\text{D} \right),\left( S\text{D}A \right)$ với mặt đáy lần lượt là $90{}^\circ ,60{}^\circ ,60{}^\circ ,60{}^\circ $. Biết rằng tam giác SAB vuông cân tại S, $AB=a$ và chu vi tứ giác ABCD là 9a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. $V=\dfrac{2{{\text{a}}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
B. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}$
C. $V=\dfrac{{{\text{a}}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
D. $V=\dfrac{{{\text{a}}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
Gọi H là trung điểm của AB suy ra $SH\bot AB$.
Do $\left( SAB \right)\bot \left( ABC\text{D} \right)$ nên $SH\bot \left( ABC\text{D} \right)$.
Dựng $HM\bot BC,\text{ HN}\bot \text{CD},\text{ HP}\bot \text{AD}$.
Suy ra $\widehat{SMH}=\widehat{SNH}=\widehat{SPH}=60{}^\circ $.
Ta có: $SH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}$, $HM\tan 60{}^\circ =HN\tan 60{}^\circ $
$=HP\tan 60{}^\circ =SH\Rightarrow HM=HN=HP=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
Mặt khác ${{S}_{ABC\text{D}}}={{S}_{BHC}}+{{S}_{CH\text{D}}}+{{S}_{DHA}}$
$=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.\left( BC+C\text{D}+A\text{D} \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{12}.\left( 9\text{a}-a \right)=\dfrac{2{{\text{a}}^{2}}\sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}S.h=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
A. $V=\dfrac{2{{\text{a}}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
B. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}$
C. $V=\dfrac{{{\text{a}}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
D. $V=\dfrac{{{\text{a}}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
Gọi H là trung điểm của AB suy ra $SH\bot AB$.
Do $\left( SAB \right)\bot \left( ABC\text{D} \right)$ nên $SH\bot \left( ABC\text{D} \right)$.
Dựng $HM\bot BC,\text{ HN}\bot \text{CD},\text{ HP}\bot \text{AD}$.
Suy ra $\widehat{SMH}=\widehat{SNH}=\widehat{SPH}=60{}^\circ $.
Ta có: $SH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}$, $HM\tan 60{}^\circ =HN\tan 60{}^\circ $
$=HP\tan 60{}^\circ =SH\Rightarrow HM=HN=HP=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
Mặt khác ${{S}_{ABC\text{D}}}={{S}_{BHC}}+{{S}_{CH\text{D}}}+{{S}_{DHA}}$
$=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.\left( BC+C\text{D}+A\text{D} \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{12}.\left( 9\text{a}-a \right)=\dfrac{2{{\text{a}}^{2}}\sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}S.h=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
Đáp án C.