Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi và góc tạo bởi các...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi và góc tạo bởi các mặt phẳng

(S A B)

,

(S B C)

,

(S C D), (S D A)

với mặt đáy lần lượt là

90^{\circ}, 60^{\circ}, 60^{\circ}, 60^{\circ}

. Biết rằng tam giác SAB vuông cân tại S,

A B = a

và chu vi tứ giác ABCD là 9a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A.

V = \frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{9}

B.

V = a^{3} \sqrt{3}

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}

D.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

Gọi H là trung điểm của AB suy ra

S H ⊥ A B

.
Do

(S A B) ⊥ (A B C D)

nên

S H ⊥ (A B C D)

.
Dựng

H M ⊥ B C, HN ⊥ CD, HP ⊥ AD

.
Suy ra

\hat{S M H} = \hat{S N H} = \hat{S P H} = 60^{\circ}

.
Ta có:

S H = \frac{A B}{2} = \frac{a}{2}

,

H M \tan 60^{\circ} = H N \tan 60^{\circ}

= H P \tan 60^{\circ} = S H \Rightarrow H M = H N = H P = \frac{a \sqrt{3}}{6}

.
Mặt khác

S_{A B C D} = S_{B H C} + S_{C H D} + S_{D H A}

= \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{6} . (B C + C D + A D) = \frac{a \sqrt{3}}{12} . (9 a - a) = \frac{2 a^{2} \sqrt{3}}{3}

\Rightarrow V = \frac{1}{3} S . h = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}

.

Đáp án C.