Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy ${ABCD}$ là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính ${AB=2a,SA=a\sqrt{3}}$ và vuông góc với mặt phẳng ${\left( ABCD \right)}$. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng ${\left( SAD \right)}$ và ${\left( SBC \right)}$ bằng:
A. ${\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$.
B. ${\dfrac{\sqrt{2}}{4}}$.
C. ${\dfrac{\sqrt{2}}{3}}$.
D. ${\dfrac{\sqrt{2}}{5}}$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Gọi $I=AD\cap BC.$ Do ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB nên C, D lần lượt là trung điểm của IB, IA và $BD\bot AD\left( 1 \right).$
Mặt khác, $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot BD\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) suy ra $BD\bot \left( SAI \right)\Rightarrow SI\bot BD \left( 3 \right).$
Gọi H là hình chiếu của D trên SI (4).
Từ (3) và (4) suy ra $SI\bot \left( HBD \right)\Rightarrow \alpha =\widehat{DHB}.$
Xét $\Delta BDA$ vuông tại D có $BD=\sqrt{A{{B}^{2}}A{{D}^{2}}}=a\sqrt{3}.$
Xét ABDH vuông tại D có $DH=\dfrac{1}{2}d\left( A,SI \right)=\dfrac{AS.AI}{2\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}.2a}{2\sqrt{3{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$
$\Rightarrow HB=\sqrt{B{{D}^{2}}+D{{H}^{2}}}=\dfrac{2a\sqrt{6}}{\sqrt{7}}.$
Suy ra $\cos a=\dfrac{HD}{BD}=\dfrac{a\sqrt{3}.\sqrt{7}}{\sqrt{7.}2a\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}.$
A. ${\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$.
B. ${\dfrac{\sqrt{2}}{4}}$.
C. ${\dfrac{\sqrt{2}}{3}}$.
D. ${\dfrac{\sqrt{2}}{5}}$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Gọi $I=AD\cap BC.$ Do ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB nên C, D lần lượt là trung điểm của IB, IA và $BD\bot AD\left( 1 \right).$
Mặt khác, $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot BD\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) suy ra $BD\bot \left( SAI \right)\Rightarrow SI\bot BD \left( 3 \right).$
Gọi H là hình chiếu của D trên SI (4).
Từ (3) và (4) suy ra $SI\bot \left( HBD \right)\Rightarrow \alpha =\widehat{DHB}.$
Xét $\Delta BDA$ vuông tại D có $BD=\sqrt{A{{B}^{2}}A{{D}^{2}}}=a\sqrt{3}.$
Xét ABDH vuông tại D có $DH=\dfrac{1}{2}d\left( A,SI \right)=\dfrac{AS.AI}{2\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}.2a}{2\sqrt{3{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$
$\Rightarrow HB=\sqrt{B{{D}^{2}}+D{{H}^{2}}}=\dfrac{2a\sqrt{6}}{\sqrt{7}}.$
Suy ra $\cos a=\dfrac{HD}{BD}=\dfrac{a\sqrt{3}.\sqrt{7}}{\sqrt{7.}2a\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}.$
Đáp án B.