Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy ${ABCD}$ là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính ${AD}$, ${O}$ là trung điểm ${CD}$, ${AD=4a}$, ${SA=SB=SO=2a}$. Tính khoảng cách giữa ${SA}$ và ${CD}$.
A. ${\dfrac{a}{\sqrt{7}}}$.
B. ${\dfrac{2a}{\sqrt{7}}}$.
C. ${\dfrac{4a}{\sqrt{7}}}$.
D. ${\dfrac{a\sqrt{14}}{4}}$.
Gọi I, N là trung điểm của AD, AB.
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO, vì $\Delta ABI$ đều, nên $H\in NI.$
Hạ $HK\bot CD$, Dựng hình bình hành AECD. Gọi F là giao điểm của BO và AE
Ta có AF//CD, nên d(SA,CD) = d(CD,(SAF)) = d(O,(SAF)).
Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD, nên $\Delta BIC,\Delta CID$ là các tam giác đều, do đó:
$AC=\sqrt{{{\left( 4a \right)}^{2}}{{\left( 2a \right)}^{2}}}=2a\sqrt{3}.$
$CO=\dfrac{1}{2}CD=a.$
$AO=\sqrt{A{{C}^{2}}+C{{O}^{2}}}=\sqrt{12{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{13}.$
$BO=\sqrt{B{{C}^{2}}+C{{O}^{2}}-2BC.CO.\cos {{120}^{0}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=a\sqrt{7}.$
${{S}_{\Delta ABO}}=\dfrac{\left( 2a+4a \right)a\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}2a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}4a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$
Suy ra $AH=\dfrac{2a.a\sqrt{7}.a\sqrt{13}}{4.\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{273}}{9}.$
$SH=\sqrt{S{{A}^{2}}A{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-\dfrac{273{{a}^{2}}}{81}}=\dfrac{a\sqrt{51}}{9}.$
Diện tích ${{S}_{\Delta AFO}}=2{{S}_{\Delta ABO}}=3{{a}^{2}}\sqrt{3}$
Thể tích khối chóp $S.AFOl\grave{a}{{V}_{S.AFO}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{AFO}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{153}}{9}.$
Diện tích tam giác SAF:
$SA=2a.$
$AF=3a.$
$S{{B}^{2}}=\dfrac{S{{O}^{2}}+S{{F}^{2}}}{2}-\dfrac{F{{O}^{2}}}{4}\Rightarrow S{{F}^{2}}=\dfrac{F{{O}^{2}}+4S{{B}^{2}}}{2}-S{{O}^{2}}=\dfrac{28{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}{2}-4{{a}^{2}}=\dfrac{36{{a}^{2}}}{2}$
$\Rightarrow SF=3a\sqrt{2}.$
Suy ra ${{S}_{\Delta SAF}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{119}}{4}$
Vậy $d\left( SA,CD \right)=d\left( CD,\left( SAF \right) \right)=d\left( O,\left( SAF \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{O.SAF}}}{{{S}_{\Delta SAF}}}=\dfrac{3\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{153}}{9}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{119}}{4}}=\dfrac{2a}{\sqrt{7}}.$
A. ${\dfrac{a}{\sqrt{7}}}$.
B. ${\dfrac{2a}{\sqrt{7}}}$.
C. ${\dfrac{4a}{\sqrt{7}}}$.
D. ${\dfrac{a\sqrt{14}}{4}}$.
Gọi I, N là trung điểm của AD, AB.
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO, vì $\Delta ABI$ đều, nên $H\in NI.$
Hạ $HK\bot CD$, Dựng hình bình hành AECD. Gọi F là giao điểm của BO và AE
Ta có AF//CD, nên d(SA,CD) = d(CD,(SAF)) = d(O,(SAF)).
Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD, nên $\Delta BIC,\Delta CID$ là các tam giác đều, do đó:
$AC=\sqrt{{{\left( 4a \right)}^{2}}{{\left( 2a \right)}^{2}}}=2a\sqrt{3}.$
$CO=\dfrac{1}{2}CD=a.$
$AO=\sqrt{A{{C}^{2}}+C{{O}^{2}}}=\sqrt{12{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{13}.$
$BO=\sqrt{B{{C}^{2}}+C{{O}^{2}}-2BC.CO.\cos {{120}^{0}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=a\sqrt{7}.$
${{S}_{\Delta ABO}}=\dfrac{\left( 2a+4a \right)a\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}2a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}4a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$
Suy ra $AH=\dfrac{2a.a\sqrt{7}.a\sqrt{13}}{4.\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{273}}{9}.$
$SH=\sqrt{S{{A}^{2}}A{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-\dfrac{273{{a}^{2}}}{81}}=\dfrac{a\sqrt{51}}{9}.$
Diện tích ${{S}_{\Delta AFO}}=2{{S}_{\Delta ABO}}=3{{a}^{2}}\sqrt{3}$
Thể tích khối chóp $S.AFOl\grave{a}{{V}_{S.AFO}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{AFO}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{153}}{9}.$
Diện tích tam giác SAF:
$SA=2a.$
$AF=3a.$
$S{{B}^{2}}=\dfrac{S{{O}^{2}}+S{{F}^{2}}}{2}-\dfrac{F{{O}^{2}}}{4}\Rightarrow S{{F}^{2}}=\dfrac{F{{O}^{2}}+4S{{B}^{2}}}{2}-S{{O}^{2}}=\dfrac{28{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}{2}-4{{a}^{2}}=\dfrac{36{{a}^{2}}}{2}$
$\Rightarrow SF=3a\sqrt{2}.$
Suy ra ${{S}_{\Delta SAF}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{119}}{4}$
Vậy $d\left( SA,CD \right)=d\left( CD,\left( SAF \right) \right)=d\left( O,\left( SAF \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{O.SAF}}}{{{S}_{\Delta SAF}}}=\dfrac{3\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{153}}{9}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{119}}{4}}=\dfrac{2a}{\sqrt{7}}.$
Đáp án B.