Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính $AB=2a$, $SA=a\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAD \right)$ và $\left( SBC \right)$ bằng:
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{5}$
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C trên AD.
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAD \right), \left( SBC \right)$
$\Rightarrow \Delta SHK$ là hình chiếu của ΔSBC trên $\left( SAD \right)\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{{{S}_{\Delta SHK}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}$.
$HK=BC=2a\Rightarrow {{S}_{\Delta SHK}}=\dfrac{1}{2}SA.HK=\dfrac{a\sqrt{3}.2a}{2}={{a}^{2}}\sqrt{3}$.
$d\left( A;\left( BC \right) \right)=BH=a\sqrt{3}\Rightarrow d\left( S;\left( BC \right) \right)=a\sqrt{3}.\sqrt{2}=a\sqrt{6}$.
Suy ra ${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{1}{2}.d\left( S;\left( BC \right) \right).BC={{a}^{3}}\sqrt{6}$.
Vậy $\cos \alpha =\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{{{a}^{3}}\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{5}$
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C trên AD.
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAD \right), \left( SBC \right)$
$\Rightarrow \Delta SHK$ là hình chiếu của ΔSBC trên $\left( SAD \right)\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{{{S}_{\Delta SHK}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}$.
$HK=BC=2a\Rightarrow {{S}_{\Delta SHK}}=\dfrac{1}{2}SA.HK=\dfrac{a\sqrt{3}.2a}{2}={{a}^{2}}\sqrt{3}$.
$d\left( A;\left( BC \right) \right)=BH=a\sqrt{3}\Rightarrow d\left( S;\left( BC \right) \right)=a\sqrt{3}.\sqrt{2}=a\sqrt{6}$.
Suy ra ${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{1}{2}.d\left( S;\left( BC \right) \right).BC={{a}^{3}}\sqrt{6}$.
Vậy $\cos \alpha =\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{{{a}^{3}}\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án A.