Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, $AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$ Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và đường thẳng SB tạo với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ một góc $60{}^\circ .$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SC$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
D. $\dfrac{a}{2}.$
Ta có $AD//BC\Rightarrow AD//\left( SBC \right)\Rightarrow d\left( AD;SC \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)$.
Kẻ $AP\bot SB\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AP\Rightarrow d\left( AD;SC \right)=AP$.
Ta có $\dfrac{1}{A{{P}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$. Cạnh $AB=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=\dfrac{a}{2}$.
Lại có $\widehat{\left( SB;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SBA}=60{}^\circ $.
$\Rightarrow \tan 60{}^\circ =\dfrac{SA}{AB}\Rightarrow SA=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AP=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
D. $\dfrac{a}{2}.$
Ta có $AD//BC\Rightarrow AD//\left( SBC \right)\Rightarrow d\left( AD;SC \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)$.
Kẻ $AP\bot SB\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AP\Rightarrow d\left( AD;SC \right)=AP$.
Ta có $\dfrac{1}{A{{P}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$. Cạnh $AB=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=\dfrac{a}{2}$.
Lại có $\widehat{\left( SB;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SBA}=60{}^\circ $.
$\Rightarrow \tan 60{}^\circ =\dfrac{SA}{AB}\Rightarrow SA=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AP=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Đáp án A.