Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, góc $\widehat{SBD}=60{}^\circ $. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
D. ${{a}^{3}}$.
- Do tứ giác $A B C D$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$ nên $B D=a \sqrt{2}$ và $S_{A B C D}=a^{2}$.
- Vì $S A \perp(A B C D) \Rightarrow S A \perp A B, S A \perp A D$.
Ta có $S B=\sqrt{S A^{2}+A B^{2}} ; S D=\sqrt{S A^{2}+A D^{2}} \Rightarrow S B=S D$. Mà $\widehat{S B D}=60^{\circ} \Rightarrow \triangle S B D$ đều.
Suy ra $S B=B D=a \sqrt{2} \Rightarrow S A=\sqrt{S B^{2}-A B^{2}}=a$
- Vậy $V_{S . A B C D}=\dfrac{1}{3} \cdot S A \cdot S_{A B C D}=\dfrac{a^{3}}{3}$.
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
D. ${{a}^{3}}$.
- Vì $S A \perp(A B C D) \Rightarrow S A \perp A B, S A \perp A D$.
Ta có $S B=\sqrt{S A^{2}+A B^{2}} ; S D=\sqrt{S A^{2}+A D^{2}} \Rightarrow S B=S D$. Mà $\widehat{S B D}=60^{\circ} \Rightarrow \triangle S B D$ đều.
Suy ra $S B=B D=a \sqrt{2} \Rightarrow S A=\sqrt{S B^{2}-A B^{2}}=a$
- Vậy $V_{S . A B C D}=\dfrac{1}{3} \cdot S A \cdot S_{A B C D}=\dfrac{a^{3}}{3}$.
Đáp án C.