Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $2a$. Biết $SA=2a\sqrt{3}$ và $SA$ vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$ bằng
A. $30a\sqrt{5}$.
B. $6a$.
C. $a\sqrt{30}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$.
Kẻ $OH\bot SC \left( H\in SC \right)$ (1).
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AC \\
& BD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)$.
Mà $OH\subset \left( SAC \right)$ nên $BD\bot HO$ (2).
Từ $\left( 1 \right), \left( 2 \right)$ suy ra $OH$ là đoạn vuông góc chung của $BD$ và $SC$.
Suy ra $d\left( BD,SC \right)=OH$.
Ta có hai tam giác vuông $SAC$ và $OHC$ đồng dạng (có góc $C$ chung)
$\Rightarrow \dfrac{OH}{SA}=\dfrac{OC}{SC}$ $\Leftrightarrow OH=\dfrac{OC.SA}{SC}=\dfrac{\dfrac{2a\sqrt{2}}{2}.2a\sqrt{3}}{\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}}}$ $=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$.
A. $30a\sqrt{5}$.
B. $6a$.
C. $a\sqrt{30}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$.
Kẻ $OH\bot SC \left( H\in SC \right)$ (1).
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AC \\
& BD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)$.
Mà $OH\subset \left( SAC \right)$ nên $BD\bot HO$ (2).
Từ $\left( 1 \right), \left( 2 \right)$ suy ra $OH$ là đoạn vuông góc chung của $BD$ và $SC$.
Suy ra $d\left( BD,SC \right)=OH$.
Ta có hai tam giác vuông $SAC$ và $OHC$ đồng dạng (có góc $C$ chung)
$\Rightarrow \dfrac{OH}{SA}=\dfrac{OC}{SC}$ $\Leftrightarrow OH=\dfrac{OC.SA}{SC}=\dfrac{\dfrac{2a\sqrt{2}}{2}.2a\sqrt{3}}{\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}}}$ $=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$.
Đáp án D.