Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, tam giác $SAB$ cân tại $S$. Góc giữa mặt bên $\left( SAB \right)$ và mặt đáy bằng $60{}^\circ $, góc giữa $SA$ và mặt đáy bằng $45{}^\circ $. Biết thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$. Chiều cao của hình chóp $S.ABCD$ bằng
A. $a\sqrt{3}$.
B. $a\sqrt{6}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& SM\bot AB \\
& MN\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SMN \right)$.
Kẻ $SH\bot MN\left( H\in MN \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Lại có $\widehat{\left( SAB \right);\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SM;MH \right)}=\widehat{SMH}=60{}^\circ $
Và $\widehat{SA;\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SA;AH \right)}=\widehat{SAH}=45{}^\circ $
Đặt $AB=2x;SH=y\Rightarrow MH=\dfrac{y\sqrt{3}}{3}$ và $AH=y$.
Tam giác $MAH$ vuông tại $M$, có $M{{A}^{2}}+M{{H}^{2}}=A{{H}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\dfrac{{{y}^{3}}}{3}={{y}^{2}}\Leftrightarrow y=\dfrac{\sqrt{6}x}{2}$
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{6}x}{2}.4{{x}^{2}}=\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\Rightarrow x=a\sqrt{2}$
Vậy chiều cao của khối chóp là $y=\dfrac{\sqrt{6}x}{2}=a\sqrt{3}$.
A. $a\sqrt{3}$.
B. $a\sqrt{6}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& SM\bot AB \\
& MN\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SMN \right)$.
Kẻ $SH\bot MN\left( H\in MN \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Lại có $\widehat{\left( SAB \right);\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SM;MH \right)}=\widehat{SMH}=60{}^\circ $
Và $\widehat{SA;\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SA;AH \right)}=\widehat{SAH}=45{}^\circ $
Đặt $AB=2x;SH=y\Rightarrow MH=\dfrac{y\sqrt{3}}{3}$ và $AH=y$.
Tam giác $MAH$ vuông tại $M$, có $M{{A}^{2}}+M{{H}^{2}}=A{{H}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\dfrac{{{y}^{3}}}{3}={{y}^{2}}\Leftrightarrow y=\dfrac{\sqrt{6}x}{2}$
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{6}x}{2}.4{{x}^{2}}=\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\Rightarrow x=a\sqrt{2}$
Vậy chiều cao của khối chóp là $y=\dfrac{\sqrt{6}x}{2}=a\sqrt{3}$.
Đáp án A.