Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA$ vuông góc với đáy, $SA=a,M$ là trung điểm $CD,$ góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( SAC \right)$ bằng $30{}^\circ .$ Khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left( SBM \right)$ bằng
A. $\dfrac{a}{3}.$
B. $\dfrac{5a}{3}.$
C. $\dfrac{4a}{3}.$
D. $\dfrac{2a}{3}.$
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow DO\bot AC,$ mặt khác $DO\bot SA\Rightarrow DO\bot \left( SAC \right)$
$\Rightarrow \left( \widehat{SD;\left( SAC \right)} \right)=\widehat{DSO}=30{}^\circ \Rightarrow SO\tan 30{}^\circ =DO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
Khi đó $SA=\sqrt{S{{O}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{6{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{2{{a}^{2}}}{4}}=a.$
Gọi $I=AD\cap BM$ ta có: $\dfrac{ID}{IA}=\dfrac{IM}{IB}=\dfrac{DM}{AB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow AI=2DI\Rightarrow d\left( D;\left( SBM \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( SBM \right) \right)$
Trong đó $AB=a,AI=2a,SA=a$ và $AB\bot AI\bot SA\Rightarrow \dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( A;\left( SBI \right) \right)}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$
$\Rightarrow d\left( A;\left( SBM \right) \right)=\dfrac{2a}{3}\Rightarrow d\left( D;\left( SBM \right) \right)=\dfrac{a}{3}.$
A. $\dfrac{a}{3}.$
B. $\dfrac{5a}{3}.$
C. $\dfrac{4a}{3}.$
D. $\dfrac{2a}{3}.$
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow DO\bot AC,$ mặt khác $DO\bot SA\Rightarrow DO\bot \left( SAC \right)$
$\Rightarrow \left( \widehat{SD;\left( SAC \right)} \right)=\widehat{DSO}=30{}^\circ \Rightarrow SO\tan 30{}^\circ =DO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
Khi đó $SA=\sqrt{S{{O}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{6{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{2{{a}^{2}}}{4}}=a.$
Gọi $I=AD\cap BM$ ta có: $\dfrac{ID}{IA}=\dfrac{IM}{IB}=\dfrac{DM}{AB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow AI=2DI\Rightarrow d\left( D;\left( SBM \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( SBM \right) \right)$
Trong đó $AB=a,AI=2a,SA=a$ và $AB\bot AI\bot SA\Rightarrow \dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( A;\left( SBI \right) \right)}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$
$\Rightarrow d\left( A;\left( SBM \right) \right)=\dfrac{2a}{3}\Rightarrow d\left( D;\left( SBM \right) \right)=\dfrac{a}{3}.$
Đáp án A.