Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông, $S A$ vuông góc...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông,

S A

vuông góc với đáy,

S A = a, M

là trung điểm

C D,

góc giữa đường thẳng

S D

và mặt phẳng

(S A C)

bằng

30^{\circ} .

Khoảng cách từ điểm

D

đến mặt phẳng

(S B M)

bằng
A.

\frac{a}{3} .

B.

\frac{5 a}{3} .

C.

\frac{4 a}{3} .

D.

\frac{2 a}{3} .

Gọi

O = A C \cap B D \Rightarrow D O ⊥ A C,

mặt khác

D O ⊥ S A \Rightarrow D O ⊥ (S A C)

\Rightarrow (\hat{S D; (S A C)}) = \hat{D S O} = 30^{\circ} \Rightarrow S O \tan 30^{\circ} = D O = \frac{a \sqrt{2}}{2} \Rightarrow S O = \frac{a \sqrt{6}}{2} .

Khi đó

S A = \sqrt{S O^{2} - O A^{2}} = \sqrt{\frac{6 a^{2}}{4} - \frac{2 a^{2}}{4}} = a .

Gọi

I = A D \cap B M

ta có:

\frac{I D}{I A} = \frac{I M}{I B} = \frac{D M}{A B} = \frac{1}{2} \Rightarrow A I = 2 D I \Rightarrow d (D; (S B M)) = \frac{1}{2} d (A; (S B M))

Trong đó

A B = a, A I = 2 a, S A = a

và

A B ⊥ A I ⊥ S A \Rightarrow \frac{1}{d^{2} (A; (S B I))} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A I^{2}} + \frac{1}{A B^{2}}

\Rightarrow d (A; (S B M)) = \frac{2 a}{3} \Rightarrow d (D; (S B M)) = \frac{a}{3} .

Đáp án A.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc...