Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA\bot \left( ABCD \right)$ và $SA=a$, góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng ${{30}^{0}}$ (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)$
$\Rightarrow $ Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SC$ lên mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là đường thẳng $SB$
$\Rightarrow \left( SC;\left( SAB \right) \right)=\widehat{BSC}$ $\Rightarrow \widehat{BSC}={{30}^{0}}$.
Đặt $AB=BC=x\left( x>0 \right)$. $\Delta SBC$ vuông tại $B$ $\Rightarrow \dfrac{BC}{SB}=\tan {{30}^{0}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow SB=x\sqrt{3}$.
$\Delta SAB$ vuông tại $A$ $\Rightarrow S{{B}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}$ $\Rightarrow 3{{x}^{2}}={{a}^{2}}+{{x}^{2}}$ $\Rightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
${{S}_{ABCD}}={{x}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$ $\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)$
$\Rightarrow $ Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SC$ lên mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là đường thẳng $SB$
$\Rightarrow \left( SC;\left( SAB \right) \right)=\widehat{BSC}$ $\Rightarrow \widehat{BSC}={{30}^{0}}$.
Đặt $AB=BC=x\left( x>0 \right)$. $\Delta SBC$ vuông tại $B$ $\Rightarrow \dfrac{BC}{SB}=\tan {{30}^{0}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow SB=x\sqrt{3}$.
$\Delta SAB$ vuông tại $A$ $\Rightarrow S{{B}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}$ $\Rightarrow 3{{x}^{2}}={{a}^{2}}+{{x}^{2}}$ $\Rightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
${{S}_{ABCD}}={{x}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$ $\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
Đáp án B.