Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông có độ dài đường chéo bằng $a\sqrt{2}$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và $\left( ABCD \right)$. Nếu $\tan \alpha =\sqrt{2}$ thì góc giữa $\left( SAC \right)$ và $\left( SBC \right)$ bằng
A. $90{}^\circ $.
B. $45{}^\circ $.
C. $60{}^\circ $.
D. $30{}^\circ $.
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AC \\
& BD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot SO$
Do đó:$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBD \right)\cap \left( ABCD \right)=BD \\
& AC\bot BD,AC\subset \left( ABCD \right) \\
& SO\bot BD,SO\subset \left( SBD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( SBD \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{AO,SO} \right)=\widehat{SOA}=\alpha $
$\Delta SAO$ vuông tại $A$ có: $\tan \alpha =\dfrac{SA}{AO}\Rightarrow SA=AO.\tan \alpha =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{2}=a$
Trong $\Delta SOC$ kẻ đường cao $OI,\left( I\in SC \right)$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& SC\bot OI \\
& SC\bot BD,\left( BD\bot \left( SAC \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SC\bot \left( BIO \right)\Rightarrow SC\bot BI$
Do đó: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\cap \left( SBC \right)=SC \\
& OI\bot SC,OI\subset \left( SAC \right) \\
& BI\bot SC,BI\subset \left( SBC \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( SBC \right),\left( SAC \right)} \right)=\left( \widehat{OI,BI} \right)=\widehat{BIO}$
$\Delta ICO\sim \Delta ACS\left( g-g \right)\Rightarrow \dfrac{IO}{AS}=\dfrac{CO}{CS}\Rightarrow IO=AS\cdot \dfrac{CO}{\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{S}^{2}}}}=a\cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2.\sqrt{2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$
$\Delta BOI:\tan BIO=\dfrac{BO}{OI}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{6}}{6}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{BIO}={{60}^{{}^\circ }}$
Vậy $\left( \widehat{\left( SBC \right),\left( SAC \right)} \right)={{60}^{0}}$
A. $90{}^\circ $.
B. $45{}^\circ $.
C. $60{}^\circ $.
D. $30{}^\circ $.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AC \\
& BD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot SO$
Do đó:$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBD \right)\cap \left( ABCD \right)=BD \\
& AC\bot BD,AC\subset \left( ABCD \right) \\
& SO\bot BD,SO\subset \left( SBD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( SBD \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{AO,SO} \right)=\widehat{SOA}=\alpha $
$\Delta SAO$ vuông tại $A$ có: $\tan \alpha =\dfrac{SA}{AO}\Rightarrow SA=AO.\tan \alpha =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{2}=a$
Trong $\Delta SOC$ kẻ đường cao $OI,\left( I\in SC \right)$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& SC\bot OI \\
& SC\bot BD,\left( BD\bot \left( SAC \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SC\bot \left( BIO \right)\Rightarrow SC\bot BI$
Do đó: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\cap \left( SBC \right)=SC \\
& OI\bot SC,OI\subset \left( SAC \right) \\
& BI\bot SC,BI\subset \left( SBC \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( SBC \right),\left( SAC \right)} \right)=\left( \widehat{OI,BI} \right)=\widehat{BIO}$
$\Delta ICO\sim \Delta ACS\left( g-g \right)\Rightarrow \dfrac{IO}{AS}=\dfrac{CO}{CS}\Rightarrow IO=AS\cdot \dfrac{CO}{\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{S}^{2}}}}=a\cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2.\sqrt{2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$
$\Delta BOI:\tan BIO=\dfrac{BO}{OI}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{6}}{6}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{BIO}={{60}^{{}^\circ }}$
Vậy $\left( \widehat{\left( SBC \right),\left( SAC \right)} \right)={{60}^{0}}$
Đáp án C.