Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông có độ dài đường...

The Knowledge · 28/3/22

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông có độ dài đường chéo bằng

a \sqrt{2}

và

S A

vuông góc với mặt phẳng

(A B C D)

. Gọi

α

là góc giữa hai mặt phẳng

(S B D)

và

(A B C D)

. Nếu

\tan α = \sqrt{2}

thì góc giữa

(S A C)

và

(S B C)

bằng
A.

90^{\circ}

.
B.

45^{\circ}

.
C.

60^{\circ}

.
D.

30^{\circ}

.

Gọi

O

là giao điểm của

A C

và

B D

 Ta có:

{\begin{aligned} B D ⊥ A C \\ B D ⊥ S A \end{aligned} \Rightarrow B D ⊥ (S A C) \Rightarrow B D ⊥ S O

 Do đó:

{\begin{aligned} (S B D) \cap (A B C D) = B D \\ A C ⊥ B D, A C \subset (A B C D) \\ S O ⊥ B D, S O \subset (S B D) \end{aligned} \Rightarrow (\hat{(S B D), (A B C D)}) = (\hat{A O, S O}) = \hat{S O A} = α



Δ S A O

vuông tại

A

có:

\tan α = \frac{S A}{A O} \Rightarrow S A = A O . \tan α = \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = a

 Trong

Δ S O C

kẻ đường cao

O I, (I \in S C)

 Ta có:

{\begin{aligned} S C ⊥ O I \\ S C ⊥ B D, (B D ⊥ (S A C)) \end{aligned} \Rightarrow S C ⊥ (B I O) \Rightarrow S C ⊥ B I

 Do đó:

{\begin{aligned} (S A C) \cap (S B C) = S C \\ O I ⊥ S C, O I \subset (S A C) \\ B I ⊥ S C, B I \subset (S B C) \end{aligned} \Rightarrow (\hat{(S B C), (S A C)}) = (\hat{O I, B I}) = \hat{B I O}



Δ I C O \sim Δ A C S (g - g) \Rightarrow \frac{I O}{A S} = \frac{C O}{C S} \Rightarrow I O = A S \cdot \frac{C O}{\sqrt{A C^{2} + A S^{2}}} = a \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2. \sqrt{2 a^{2} + a^{2}}} = \frac{a \sqrt{6}}{6}



Δ B O I : \tan B I O = \frac{B O}{O I} = \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2}}{\frac{a \sqrt{6}}{6}} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{B I O} = 60^{^{\circ}}

Vậy

(\hat{(S B C), (S A C)}) = 60^{0}

Đáp án C.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường...