Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a.$ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (AHK) bằng
A. $\sqrt{3}.$
B. $\sqrt{2}$
C. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot AH,$mặt khác
$AH\bot SB\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot SC$
Tương tự $AK\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( AHK \right).$
Dựng $AI\bot SC\Rightarrow A,H,I,K$ cùng thuộc mặt phẳng qua A và vuông góc với SC.
Ta có: $\widehat{\left( SK;\left( AHIK \right) \right)}=\widehat{\left( SK;KI \right)}=\widehat{SKI}$
Mặt khác $\sin \widehat{SKI}=\cos \widehat{ISK}$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot SA \\
& CD\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot SD,SD=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{2}\Rightarrow \cos \widehat{CSD}=\dfrac{SD}{SC}=\dfrac{SD}{\sqrt{S{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
Vậy $\sin \widehat{\left( SD;\left( AHK \right) \right)}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\Rightarrow \tan \widehat{\left( SD;\left( AHK \right) \right)}=\sqrt{2}.$
A. $\sqrt{3}.$
B. $\sqrt{2}$
C. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot AH,$mặt khác
$AH\bot SB\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot SC$
Tương tự $AK\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( AHK \right).$
Dựng $AI\bot SC\Rightarrow A,H,I,K$ cùng thuộc mặt phẳng qua A và vuông góc với SC.
Ta có: $\widehat{\left( SK;\left( AHIK \right) \right)}=\widehat{\left( SK;KI \right)}=\widehat{SKI}$
Mặt khác $\sin \widehat{SKI}=\cos \widehat{ISK}$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot SA \\
& CD\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot SD,SD=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{2}\Rightarrow \cos \widehat{CSD}=\dfrac{SD}{SC}=\dfrac{SD}{\sqrt{S{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
Vậy $\sin \widehat{\left( SD;\left( AHK \right) \right)}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\Rightarrow \tan \widehat{\left( SD;\left( AHK \right) \right)}=\sqrt{2}.$
Đáp án B.