Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4a...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4a. Hai mặt phẳng

(S A B)

và

(S A D)

cùng vuông góc với đáy. Tam giác SAB có diện tích bằng

\frac{8 a^{2} \sqrt{6}}{3}

. Côsin của góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng

(S B C)

bằng.
A.

\frac{\sqrt{19}}{5}

B.

\frac{\sqrt{6}}{5}

C.

\frac{6}{25}

D.

\frac{19}{25}

+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng

(S B C)

\begin{aligned} \Rightarrow \hat{(S D, (S B C))} = \hat{H S D} \Rightarrow \cos \hat{(S D, (S B C))} = \cos \hat{H S D} = \frac{S H}{S D} \\ +) S_{S A B} = \frac{1}{2} S A . A B = \frac{1}{2} S A .4 a = \frac{8 a^{2} \sqrt{6}}{3} \Rightarrow S A = \frac{4 a \sqrt{6}}{3} \\ +) V_{D . S B C} = \frac{1}{3} D H . S_{S B C} v \overset{`}{a} V_{D . S B C} = V_{S . B C D} = \frac{1}{3} . S A . S_{B C D} = \frac{1}{3} . \frac{4 a \sqrt{6}}{3} . \frac{1}{2} .4 a .4 a = \frac{32 a^{3} \sqrt{6}}{9} \\ \Rightarrow \frac{1}{3} D H . S_{S B C} = \frac{32 a^{3} \sqrt{6}}{9} \Rightarrow D H = \frac{32 a^{3} \sqrt{6}}{3 S_{S B C}} (1) \end{aligned}

+) Từ

{\begin{aligned} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{aligned} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ S B \Rightarrow S_{S B C} = \frac{1}{2} B C . S B = \frac{1}{2} .4 a . S B = 2 a . S B

+) S B^{2} = S A^{2} + A B^{2} = {(\frac{4 a \sqrt{6}}{3})}^{2} + 16 a^{2} = \frac{80 a^{2}}{3} \Rightarrow S B = a \sqrt{\frac{80}{3}} \Rightarrow S_{S B C} = 2 a^{2} \sqrt{\frac{80}{3}}

Thế vào (1)

\Rightarrow D H = \frac{32 a^{3} \sqrt{6}}{3.2 a^{2} \sqrt{\frac{80}{3}}} = \frac{4 a \sqrt{10}}{5}

\begin{aligned} +) S D^{2} = S A^{2} + A D^{2} = {(\frac{4 a \sqrt{6}}{3})}^{2} + 16 a^{2} = \frac{80 a^{2}}{3} \Rightarrow S D = a \sqrt{\frac{80}{3}} \\ \Rightarrow S H^{2} = S D^{2} - H D^{2} = \frac{80 a^{2}}{3} - {(\frac{4 a \sqrt{10}}{5})}^{2} = \frac{304 a^{2}}{15} \\ \Rightarrow S H = a \sqrt{\frac{304}{15}} \Rightarrow \cos \hat{(S D; (S B C))} = \frac{S H}{S D} = \frac{a \sqrt{\frac{304}{15}}}{a \sqrt{\frac{80}{3}}} = \frac{\sqrt{19}}{5} \end{aligned}

Đáp án A.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4a...