Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,SA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2},$ tam giác $SAC$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $\left( ABCD \right)$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD.$
A. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{12}.$
B. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{4}.$
D. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{6}.$
Tam giác $SAC$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với $\left( ABCD \right)$
Kể $SH\bot AC\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}},AC=a\sqrt{2}.$
Xét tam giác $SAC$ vuông tại $S$ có: $\cos \widehat{SAC}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{SAC}=60{}^\circ .$
$\Rightarrow SH=SA.\sin 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\sin 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.{{a}^{2}}=\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{12}.$
A. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{12}.$
B. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{4}.$
D. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{6}.$
Kể $SH\bot AC\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}},AC=a\sqrt{2}.$
Xét tam giác $SAC$ vuông tại $S$ có: $\cos \widehat{SAC}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{SAC}=60{}^\circ .$
$\Rightarrow SH=SA.\sin 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\sin 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.{{a}^{2}}=\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{12}.$
Đáp án A.