Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều, $SC=SD=a\sqrt{3}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

+ Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ suy ra $O$ là trung điểm $BD$. Ta có $d(B,(SAC))=d(D,(SAC))=h$ $\Rightarrow $ ${{V}_{S.ABC}}={{V}_{S.ACD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta SAC}}.h.$
+ Vì $BA=BC=BS=a$ suy ra hình chiếu vuông góc của $B$ trên $mp(SAC)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAC$. Ta có $S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}=S{{C}^{2}}=3{{a}^{2}}$ suy ra tam giác $SAC$ tại $A$. Gọi $H$ là trung điểm $SC$ $\Rightarrow BH\bot (SAC)$ $\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}={{V}_{B.SAC}}=\dfrac{1}{3}.BH.{{S}_{\Delta SAC}}.$
+ Ta có ${{S}_{\Delta SAC}}=\dfrac{1}{2}SA.AC=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2};$ $BH=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a}{2}.$
$\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}={{V}_{B.SAC}}=\dfrac{1}{3}.BH.{{S}_{\Delta SAC}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
+ Ta có ${{V}_{S.ABCD}}={{V}_{S.ABC}}+{{V}_{S.ACD}}=2{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.$