Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2a$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $SA=2a$. Khi đó góc giữa $SB$ và $\left( SAC \right)$ bằng:
A. ${{60}^{0}}$.
B. ${{30}^{0}}$.
C. ${{90}^{0}}$.
D. ${{45}^{0}}$.
Gọi $I=AC\cap BD$.
Ta có $BI\bot AC$ (tính chất đường chéo trong hình vuông $ABCD$ ).
Mặt khác, $BI\bot SA$ (vì $SA\bot \left( ABCD \right)$ mà $BI\subset \left( ABCD \right)$ ).
Suy ra $BI\bot \left( SAC \right)$. Khi đó góc giữa $SB$ và $\left( SAC \right)$ là góc giữa $SB$ và $SI$ hay góc $\widehat{BSI}$.
Ta có hình vuông $ABCD$ có cạnh $2a$ nên $AC=BD=2a\sqrt{2}$. Suy ra $BI=AI=a\sqrt{2}$.
Xét tam giác $SAI$ vuông tại $A$ ta có $SI=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=a\sqrt{6}$.
Trong tam giác $SIB$ vuông tại $I$ ta có $BI=a\sqrt{2};SI=a\sqrt{6}$ khi đó $\tan \widehat{BSI}=\dfrac{BI}{SI}=\dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{BSI}=30{}^\circ $.
Vậy góc giữa $SB$ và $\left( SAC \right)$ bằng ${{30}^{0}}$.
A. ${{60}^{0}}$.
B. ${{30}^{0}}$.
C. ${{90}^{0}}$.
D. ${{45}^{0}}$.
Gọi $I=AC\cap BD$.
Ta có $BI\bot AC$ (tính chất đường chéo trong hình vuông $ABCD$ ).
Mặt khác, $BI\bot SA$ (vì $SA\bot \left( ABCD \right)$ mà $BI\subset \left( ABCD \right)$ ).
Suy ra $BI\bot \left( SAC \right)$. Khi đó góc giữa $SB$ và $\left( SAC \right)$ là góc giữa $SB$ và $SI$ hay góc $\widehat{BSI}$.
Ta có hình vuông $ABCD$ có cạnh $2a$ nên $AC=BD=2a\sqrt{2}$. Suy ra $BI=AI=a\sqrt{2}$.
Xét tam giác $SAI$ vuông tại $A$ ta có $SI=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=a\sqrt{6}$.
Trong tam giác $SIB$ vuông tại $I$ ta có $BI=a\sqrt{2};SI=a\sqrt{6}$ khi đó $\tan \widehat{BSI}=\dfrac{BI}{SI}=\dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{BSI}=30{}^\circ $.
Vậy góc giữa $SB$ và $\left( SAC \right)$ bằng ${{30}^{0}}$.
Đáp án B.