Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2a$, cạnh $SB$ vuông góc với mặt đáy và mặt phẳng $\left( SAD \right)$ tạo với mặt đáy một góc là ${{60}^{\circ }}$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.
A. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
B. $V=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
C. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
D. $V=\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
Ta có: $\left. \begin{matrix}
AD\bot SB \\
AD\bot AB \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow AD\bot \left( SBA \right)\Rightarrow AD\bot SA.$
Mặt khác:
$\left. \begin{matrix}
\left( SAD \right)\cap \left( ABCD \right)=AD \\
SA\bot AD,SA\subset \left( SAD \right) \\
BA\bot AD,BA\subset \left( ABCD \right) \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow \left( \widehat{\left( SAD \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SA,BA} \right)=\widehat{SAB.}$
$\Delta SBA$ vuông tại $B$ có $SB=AB.\tan \widehat{SAB}=2a.\tan {{60}^{\circ }}=2a\sqrt{3}.$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SB.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.2a\sqrt{3}.{{\left( 2a \right)}^{2}}=\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
A. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
B. $V=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
C. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
D. $V=\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
Ta có: $\left. \begin{matrix}
AD\bot SB \\
AD\bot AB \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow AD\bot \left( SBA \right)\Rightarrow AD\bot SA.$
Mặt khác:
$\left. \begin{matrix}
\left( SAD \right)\cap \left( ABCD \right)=AD \\
SA\bot AD,SA\subset \left( SAD \right) \\
BA\bot AD,BA\subset \left( ABCD \right) \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow \left( \widehat{\left( SAD \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SA,BA} \right)=\widehat{SAB.}$
$\Delta SBA$ vuông tại $B$ có $SB=AB.\tan \widehat{SAB}=2a.\tan {{60}^{\circ }}=2a\sqrt{3}.$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SB.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.2a\sqrt{3}.{{\left( 2a \right)}^{2}}=\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
Đáp án D.