Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh...

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Khi đó $A\left( 0;0;0 \right),S\left( 0;0;2 \right),D\left( 0;1;0 \right),B\left( 1;0;0 \right),C\left( 1;1;0 \right).$
Gọi M là trung điểm của $SD\Rightarrow M\left( 0;\dfrac{1}{2};1 \right).$ Đặt $\varphi =\widehat{\left( \left( AMC \right),\left( SBC \right) \right)}.$
Ta có $\left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AC} \right]=\left( -1;1;-\dfrac{1}{2} \right)$ và $\left[ \overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC} \right]=\left( 2;0;1 \right).$
Mặt phẳng $\left( AMC \right)$ có một VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( -1;1;-\dfrac{1}{2} \right).$
Mặt phẳng $\left( SBC \right)$ có một VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 2;0;1 \right).$
Khi đó $\text{cos}\varphi \text{=}\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
$\Rightarrow \tan \varphi =\sqrt{\dfrac{1}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}\alpha }-1}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$