Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ ; góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ $. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$.
A. $3{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
D. $3\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAD \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( SAD \right)=SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SA\bot \left( ABCD \right)$
$\Rightarrow AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$
$\Rightarrow \left( \widehat{SC, \left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SCA}=60{}^\circ $
Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $SA=AC.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{6}$.
Khi đó ${{V}_{SABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{6}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
A. $3{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
D. $3\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAD \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( SAD \right)=SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SA\bot \left( ABCD \right)$
$\Rightarrow AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$
$\Rightarrow \left( \widehat{SC, \left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SCA}=60{}^\circ $
Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $SA=AC.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{6}$.
Khi đó ${{V}_{SABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{6}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
Đáp án C.