Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy ${ABCD}$ là hình vuông cạnh ${a}$, ${SA\bot \left( ABCD \right)}$ và mặt bên ${\left( SCD \right)}$ hợp với mặt phẳng đáy ${\left( ABCD \right)}$ một góc ${60{}^\circ }$. Tính khoảng cách từ điểm ${A}$ đến mặt phẳng ${\left( SCD \right)}$.
A. ${\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.}$
B. ${\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.}$
C. ${\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}$
D. ${\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.}$
Ta có $CD\bot \left( SAD \right)$ nên $CD\bot AD;CD\bot SD.$
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) chính là góc giữa hai đường thẳng SD và AD.
Theo giả thiết ta được góc này là ${{60}^{0}}=\widehat{SDA}={{60}^{0}}.$
Kė $AF\bot SD=AF\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AF=d\left( A;\left( SCD \right) \right).$
Ta có $SA=a.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$ nên $SD=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=2a$.
Do đó $AF=\dfrac{SA.AD}{SD}=\dfrac{a\sqrt{3}.a}{2a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Từ đó ta được đáp án A
A. ${\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.}$
B. ${\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.}$
C. ${\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}$
D. ${\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.}$
Ta có $CD\bot \left( SAD \right)$ nên $CD\bot AD;CD\bot SD.$
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) chính là góc giữa hai đường thẳng SD và AD.
Theo giả thiết ta được góc này là ${{60}^{0}}=\widehat{SDA}={{60}^{0}}.$
Kė $AF\bot SD=AF\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AF=d\left( A;\left( SCD \right) \right).$
Ta có $SA=a.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$ nên $SD=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=2a$.
Do đó $AF=\dfrac{SA.AD}{SD}=\dfrac{a\sqrt{3}.a}{2a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Từ đó ta được đáp án A
Đáp án A.