Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a...

Kẻ $HE\bot BD\Rightarrow BD\bot \left( SHE \right).$
Kẻ $HF\bot SE\Rightarrow HF\bot \left( SBD \right)\Rightarrow d\left( H,\left( SBD \right) \right)=HF.$
Theo giả thiết $HK//BD\Rightarrow HK//\left( SBD \right)$
$\Rightarrow d\left( HK,SD \right)=d\left( HK,\left( SBD \right) \right)=d\left( H,\left( SBD \right) \right)=HF.$
Có $HD=\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
$\Rightarrow SH=\sqrt{S{{D}^{2}}-H{{D}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{17{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}}=a\sqrt{3}$
$\Delta HEB$ vuông cân tại E (vì $\widehat{HBE}={{45}^{o}})\Rightarrow HE=\dfrac{HB}{\sqrt{2}}=\dfrac{a}{2\sqrt{2}}.$
$\Delta SHE$ vuông cân tại H nên có $\dfrac{1}{H{{F}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}=\dfrac{8}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{25}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow HF=\dfrac{a\sqrt{3}}{5}.$
$\Rightarrow d\left( HK,SD \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{5}.$
Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Chọn mặt phẳng () chứa đường thẳng và song song với ${\Delta }'$. Khi đó: $d\left( \Delta ,{\Delta }' \right)=d\left( \Delta ,\left( \alpha \right) \right)$
Định lí: đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng:
$\left\{ \begin{aligned}
& b,c\subset \left( P \right) \\
& a\bot b,a\bot c \\
& b\cap c \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a\bot \left( P \right)$
Định lý Pytago trong tam giác $\Delta ABC$ vuông tại A có cạnh huyền BC: $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}.$
Hệ thức lượng giác trong tam giác $\Delta ABC$ vuông tại A, chiều cao AH: $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}.$